Langkau ke kandungan
Matematik Tambahan · Tingkatan 4 (SPM) · 5.0 JANJANG

5.2 Janjang Geometri

Unit ini mengenal pasti janjang geometri, menerbitkan rumus Tₙ, Sₙ dan S∞, serta menggunakannya dalam pelbagai situasi dan masalah.

  • KSSM
  • 5 SP
  • 15 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 4

SP 5.2.1Mengenal pasti suatu jujukan ialah janjang geometri dan memberi justifikasi.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Mengenal

Murid perlu mengecam janjang geometri melalui nisbah sepunya yang tetap dan memberi justifikasi.

  1. IsiCiri JG
    Huraian

    r = T₂/T₁ = T₃/T₂ = ... adalah tetap.

    Contoh

    3, 6, 12, 24: nisbah sentiasa 2.

  2. IsiJustifikasi bukan JG
    Huraian

    Tunjukkan dua nisbah tidak sama.

    Contoh

    2, 4, 7, 11: 4/2 = 2 tetapi 7/4 = 1.75.

NotaJanjang geometri (JG)

Suatu jujukan ialah janjang geometri jika nisbah setiap sebutan kepada sebutan sebelumnya ialah pemalar, iaitu nisbah sepunya r = T₂/T₁ = T₃/T₂ = ... Contoh: 2, 6, 18, 54, ... dengan r = 3.

SP 5.2.1

Peta buih bergandaJA dan JG

Janjang aritmetikBeza sepunya d = Tₙ − Tₙ₋₁Sebutan ditambah d
PersamaanJujukan nombor mengikut pola tetapAda rumus Tₙ dan Sₙ
Janjang geometriNisbah sepunya r = Tₙ/Tₙ₋₁Sebutan didarab r
SP 5.2.1

SP 5.2.2Menerbitkan rumus sebutan ke-n, T, bagi n janjang geometri, dan seterusnya menggunakan rumus tersebut dalam pelbagai situasi.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menerbitkan

Murid perlu menerbitkan Tₙ = arⁿ⁻¹ dan menggunakannya dalam pelbagai situasi.

  1. IsiTerbitan
    Huraian

    T₁ = a, T₂ = ar, T₃ = ar², maka Tₙ = arⁿ⁻¹.

    Contoh

    3, 6, 12, ...: T₈ = 3(2⁷) = 384.

  2. IsiNisbah pecahan
    Huraian

    r boleh pecahan atau negatif.

    Contoh

    81, 27, 9, ...: T₆ = 81(1/3)⁵ = 1/3.

Peta alirTerbitan rumus Tₙ dan Sₙ

  1. T₁ = a, T₂ = ar, T₃ = ar², maka Tₙ = arⁿ⁻¹
  2. Sₙ = a + ar + ... + arⁿ⁻¹
  3. rSₙ = ar + ar² + ... + arⁿ
  4. Sₙ − rSₙ = a − arⁿ
  5. Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r), r < 1; atau Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r > 1
SP 5.2.2SP 5.2.3

JadualRumus JG

KuantitiRumusContoh
Tₙarⁿ⁻¹2, 6, 18, ...: T₆ = 2(3⁵) = 486
Sₙa(rⁿ − 1)/(r − 1)S₅ = 2(3⁵ − 1)/2 = 242
S∞ (|r| < 1)a/(1 − r)16 + 8 + 4 + ... = 32
SP 5.2.2SP 5.2.3SP 5.2.4

SP 5.2.3Menerbitkan rumus hasil tambah n sebutan pertama, Sₙ, bagi janjang geometri, dan seterusnya menggunakan rumus tersebut dalam pelbagai situasi.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menerbitkan

Murid perlu menerbitkan Sₙ bagi JG melalui Sₙ − rSₙ dan menggunakannya, termasuk Tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁.

  1. IsiTerbitan
    Huraian

    Sₙ − rSₙ = a − arⁿ, maka Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) atau a(rⁿ − 1)/(r − 1).

    Contoh

    3, 6, 12, ...: S₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 189.

  2. IsiTₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
    Huraian

    Sebutan ke-n ialah beza dua hasil tambah berturutan.

    Contoh

    Jika Sₙ = 3(2ⁿ − 1): T₄ = S₄ − S₃ = 45 − 21 = 24.

SP 5.2.4Menentukan hasil tambah hingga ketakterhinggaan bagi janjang geometri, S ∞ dan seterusnya menggunakan rumus hasil tambah ketakterhinggaan dalam pelbagai situasi.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid perlu menerbitkan dan menggunakan S∞ = a/(1 − r) bagi |r| < 1.

  1. IsiSyarat dan rumus
    Huraian

    Apabila |r| < 1, rⁿ → 0 apabila n → ∞, maka S∞ = a/(1 − r).

    Contoh

    27 + 9 + 3 + ...: S∞ = 27/(1 − 1/3) = 40.5.

  2. IsiPerpuluhan berulang
    Huraian

    Perpuluhan berulang ialah hasil tambah ketakterhinggaan JG.

    Contoh

    0.444... = 0.4/(1 − 0.1) = 4/9.

Peta alirContoh: tukar 0.777... kepada pecahan

  1. 0.777... = 0.7 + 0.07 + 0.007 + ...
  2. a = 0.7, r = 0.1
  3. S∞ = 0.7/(1 − 0.1) = 0.7/0.9
  4. = 7/9
SP 5.2.4

SP 5.2.5Menyelesaikan masalah yang melibatkan janjang geometri.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan

Murid perlu menyelesaikan masalah JG (tidak termasuk gabungan JA-JG dan jujukan terkumpul).

  1. IsiMencari n
    Huraian

    Bentuk ketaksamaan Sₙ atau Tₙ dan uji nilai n.

    Contoh

    2 + 4 + 8 + ...: Sₙ > 1000 apabila 2(2ⁿ − 1) > 1000; S₈ = 510, S₉ = 1022, maka n = 9.

  2. IsiKadar peratus tetap
    Huraian

    Kenaikan p% setahun memberi r = 1 + p/100.

    Contoh

    Gaji RM2000 naik 5% setahun: gaji tahun ke-5 = 2000(1.05)⁴ = RM2431.01.

Peta alirContoh masalah: bola melantun

  1. Bola dijatuhkan dari 10 m, melantun 3/4 tinggi sebelumnya
  2. Lantunan naik: 7.5 + 5.625 + ... , S∞ = 7.5/(1 − 0.75) = 30
  3. Jarak turun selepas lantunan pertama juga 30 m
  4. Jumlah jarak = 10 + 2(30) = 70 m
SP 5.2.5

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

ARS
a sebutan pertama, r nisbah sepunya, S∞ hanya jika |r| < 1

Kad imbas

Syarat JG
Nisbah antara sebutan berturutan adalah sama
Tₙ (JG)
arⁿ⁻¹
Sₙ (JG), r > 1
a(rⁿ − 1)/(r − 1)
S∞
a/(1 − r), |r| < 1
0.333... sebagai pecahan
1/3

Semak kefahaman

  1. Nyatakan nisbah sepunya bagi 81, 27, 9, ... (SP 5.2.1)

    Lihat jawapan

    r = 27/81 = 1/3.

  2. Cari sebutan ke-7 bagi 64, 32, 16, ... (SP 5.2.2)

    Lihat jawapan

    a = 64, r = 1/2: T₇ = 64(1/2)⁶ = 64/64 = 1.

  3. Hitung hasil tambah 4 sebutan pertama bagi 3, −6, 12, ... (SP 5.2.3)

    Lihat jawapan

    a = 3, r = −2: S₄ = 3(1 − 16)/(1 + 2) = −15.

  4. Hitung hasil tambah hingga ketakterhinggaan bagi 12, 6, 3, ... (SP 5.2.4)

    Lihat jawapan

    r = 1/2, S∞ = 12/(1 − 1/2) = 24.

  5. Nilai sebuah kereta RM80 000 susut 10% setiap tahun. Hitung nilainya selepas 2 tahun. (SP 5.2.5)

    Lihat jawapan

    r = 0.9: 80 000(0.9)² = 80 000 × 0.81 = RM64 800.

15 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Tahap Penguasaan (TP)

TPTafsiran
TP1Mempamerkan pengetahuan asas tentang janjang.
TP2Mempamerkan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri.
TP3Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah.
TP4Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
TP5Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
TP6Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
  1. TP1

    Mempamerkan pengetahuan asas tentang janjang.

    Aktiviti: Individu, 8 minit: murid mengenal pasti jujukan (2, 6, 18, ...) dan (3, 6, 9, ...) sama ada janjang geometri dengan menyemak nisbah sepunya pada kad.

    Evidens PBD: Kad pengenalpastian dan semakan lisan.

    SP disasar: 5.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. TP2

    Mempamerkan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri.

    Aktiviti: Berpasangan, 15 minit: murid menerbitkan Tₙ = arⁿ⁻¹ dan menerangkan dengan contoh perbezaan JA dan JG dalam jadual.

    Evidens PBD: Terbitan Tₙ dan jadual perbandingan JA dan JG.

    SP disasar: 5.2.2 · Latihan sepadan: aras Memahami
  3. TP3

    Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah.

    Aktiviti: Individu, 20 minit: murid menerbitkan Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) dan menentukan S₆ bagi 2, 6, 18, ... (S₆ = 728), lalu menyemak dengan menambah enam sebutan.

    Evidens PBD: Terbitan Sₙ dan S₆ yang disemak.

    SP disasar: 5.2.3, 5.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  4. TP4

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

    Aktiviti: Kumpulan, 20 minit: murid menentukan S∞ = a/(1 − r) apabila |r| < 1 dan menukar 0.777... kepada pecahan 7/9 dengan rumus.

    Evidens PBD: Penentuan S∞ dan pecahan 7/9.

    SP disasar: 5.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  5. TP5

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

    Aktiviti: Kumpulan, 25 minit: murid menyelesaikan masalah bola melantun (tinggi awal 10 m, nisbah 0.6) untuk jarak jumlah sehingga berhenti, menganalisis perbezaan jarak turun dan naik.

    Evidens PBD: Penyelesaian jarak jumlah dan analisis.

    SP disasar: 5.2.5, 5.2.4 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati
  6. TP6

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

    Aktiviti: Kumpulan, 30 minit: murid mereka satu masalah baharu JG (misalnya pertumbuhan pengikut media sosial atau susut nilai) dan menulis penyelesaian lengkap, lalu bertukar dengan kumpulan lain.

    Evidens PBD: Soalan reka, skema dan rubrik kreativiti dan ketepatan.

    SP disasar: 5.2.5 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 30 unit Matematik Tambahan Tingkatan 4 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 4

Unit lain dalam 5.0 JANJANG

  1. 5.1 Janjang Aritmetik
  2. 5.2 Janjang Geometri