Langkau ke kandungan
Matematik Tambahan · Tingkatan 5 (SPM) · 5.0 TABURAN KEBARANGKALIAN

5.2 Taburan Binomial

Anda akan memahami taburan binomial, mengira kebarangkalian, membina jadual dan graf, serta menentukan min, varians dan sisihan piawai.

  • KSSM
  • 5 SP
  • 14 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 5

SP 5.2.1Menerangkan maksud taburan binomial.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menerangkan

Murid perlu menerangkan maksud taburan binomial: ciri percubaan Bernoulli dan bagaimana n percubaan Bernoulli tidak bersandar membentuk X ~ B(n, p).

  1. IsiPercubaan Bernoulli
    Huraian

    Satu percubaan dengan dua kesudahan sahaja (berjaya/gagal) dan P(berjaya) = p.

    Contoh

    Melambung syiling sekali: kepala (p = 0.5) atau ekor.

  2. IsiDaripada Bernoulli ke binomial
    Huraian

    X = bilangan kejayaan dalam n percubaan Bernoulli yang tidak bersandar dengan p tetap.

    Contoh

    Menjawab 10 soalan aneka pilihan secara meneka (4 pilihan): X ~ B(10, 0.25).

Poin utamaSyarat taburan binomial X ~ B(n, p)

  • n percubaan yang tetap
  • Setiap percubaan tidak bersandar
  • Dua kesudahan sahaja: berjaya atau gagal
  • Kebarangkalian berjaya p tetap, q = 1 − p
SP 5.2.1

Peta buihTaburan binomial

B(n, p)
n tetapDua kesudahanp tetapTidak bersandarGraf simetri jika p = 0.5
SP 5.2.1SP 5.2.3

SP 5.2.2Menentukan kebarangkalian suatu peristiwa bagi taburan binomial.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid perlu menentukan kebarangkalian bagi taburan binomial menggunakan gambar rajah pokok dan rumus P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ (tanpa menerbitkan), dengan Σ P = 1.

  1. IsiGambar rajah pokok
    Huraian

    Bagi n kecil, setiap laluan berjaya r kali berkebarangkalian pʳqⁿ⁻ʳ dan terdapat ⁿCᵣ laluan sedemikian.

    Contoh

    B(3, 0.5): laluan dengan tepat 2 kepala = KKE, KEK, EKK, maka P(X = 2) = 3 × 0.125 = 0.375.

  2. IsiGunakan rumus
    Huraian

    Kenal pasti n, p, q dan r; untuk 'paling banyak' atau 'sekurang-kurangnya' jumlahkan atau guna pelengkap.

    Contoh

    X ~ B(5, 0.4): P(X = 2) = 10(0.16)(0.216) = 0.3456; P(X ≥ 1) = 1 − 0.6⁵ = 0.92224.

NotaRumus

P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ, r = 0, 1, 2, ..., n.

SP 5.2.2

Peta alirContoh: X ~ B(5, 0.4), cari P(X = 2)

  1. P(X = 2) = ⁵C₂ (0.4)² (0.6)³
  2. = 10 × 0.16 × 0.216
  3. = 0.3456
SP 5.2.2

SP 5.2.3Mentafsir maklumat, membina jadual dan melukis graf taburan binomial.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Mentafsir

Murid perlu mentafsir maklumat, membina jadual dan melukis graf taburan binomial serta mentafsir bentuk graf dan penyelesaian.

  1. IsiBina jadual dan graf
    Huraian

    Kira P(X = r) bagi r = 0 hingga n; lukis carta palang.

    Contoh

    B(3, 1/2): 1/8, 3/8, 3/8, 1/8; graf simetri.

  2. IsiTafsir bentuk
    Huraian

    p = 0.5 memberi graf simetri; p kecil memberi graf tidak simetri dengan palang tertinggi pada r kecil.

    Contoh

    B(4, 0.1): P(0) = 0.6561 paling tinggi; kebanyakan masa tiada kejayaan.

JadualJadual X ~ B(3, 1/2)

x0123
P(X = x)1/83/83/81/8
SP 5.2.3

SP 5.2.4Menentukan dan menerangkan nilai min, varians dan sisihan piawai bagi suatu taburan binomial.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid perlu menentukan dan menerangkan min μ = np, varians σ² = npq dan sisihan piawai σ = √(npq) bagi taburan binomial; min ialah nilai jangkaan purata apabila peristiwa berulang.

  1. IsiKira min, varians, sisihan piawai
    Huraian

    Gantikan n, p dan q = 1 − p.

    Contoh

    B(20, 0.3): μ = 6, σ² = 4.2, σ ≈ 2.049.

  2. IsiMaksud min
    Huraian

    Min ialah purata bilangan kejayaan jika eksperimen diulang berkali-kali, bukan nilai yang pasti berlaku.

    Contoh

    Pemain penalti p = 0.8, 10 sepakan: purata 8 jaringan bagi setiap set 10 sepakan dalam jangka panjang.

JadualMin, varians, sisihan piawai

SukatanRumusB(20, 0.3)
Min μnp6
Varians σ²npq4.2
Sisihan piawai σ√(npq)2.049
SP 5.2.4

SP 5.2.5Menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan binomial.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan

Murid perlu menyelesaikan masalah kehidupan sebenar melibatkan taburan binomial dan mentafsir penyelesaian.

  1. IsiKawalan mutu
    Huraian

    Tentukan n dan p daripada situasi, kira kebarangkalian dan tafsir.

    Contoh

    10% rosak, 8 barang: P(X ≤ 1) = 0.8131; kira-kira 81% sampel mengandungi paling banyak satu barang rosak.

  2. IsiMencari n atau p
    Huraian

    Gunakan min atau varians untuk membentuk persamaan.

    Contoh

    Min 6 dan varians 4.2: q = 4.2/6 = 0.7, p = 0.3, n = 20.

Peta alirContoh: 10% barang rosak, 8 barang dipilih

  1. X ~ B(8, 0.1)
  2. P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
  3. = 0.9⁸ + 8(0.1)(0.9⁷)
  4. = 0.4305 + 0.3826 = 0.8131
SP 5.2.5

Ingat: mnemonik & kad imbas

Kad imbas

P(X = r) binomial
ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ
Min binomial
np
Varians binomial
npq
q =
1 − p
Bilangan kesudahan setiap percubaan
Dua

Semak kefahaman

  1. Nyatakan dua syarat taburan binomial. (SP 5.2.1)

    Lihat jawapan

    Bilangan percubaan n adalah tetap dan tidak bersandar, setiap percubaan ada dua kesudahan sahaja, dan kebarangkalian berjaya p adalah malar.

  2. X ~ B(5, 0.2). Hitung P(X = 1). (SP 5.2.2)

    Lihat jawapan

    ⁵C₁(0.2)(0.8)⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.

  3. X ~ B(2, 0.3). Lengkapkan nilai P(X = 0), P(X = 1) dan P(X = 2). (SP 5.2.3)

    Lihat jawapan

    P(X = 0) = 0.7² = 0.49, P(X = 1) = 2(0.3)(0.7) = 0.42, P(X = 2) = 0.3² = 0.09.

  4. X ~ B(100, 0.4). Hitung min, varians dan sisihan piawai. (SP 5.2.4)

    Lihat jawapan

    μ = 100 × 0.4 = 40; σ² = 40 × 0.6 = 24; σ = √24 = 4.899.

  5. 5% barang di sebuah kilang rosak. Sampel 20 barang diambil. Hitung kebarangkalian tiada barang rosak. (SP 5.2.5)

    Lihat jawapan

    P(X = 0) = 0.95²⁰ = 0.3585.

14 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Tahap Penguasaan (TP)

TPTafsiran
TP1Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemboleh ubah rawak.
TP2Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian.
TP3Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan tugasan mudah.
TP4Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
TP5Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
TP6Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
  1. TP1

    Mempamerkan pengetahuan asas tentang pemboleh ubah rawak.

    Aktiviti: Murid mengenal pasti ciri percubaan binomial (dua kesudahan, bebas, bilangan tetap) pada kad situasi secara berpasangan.

    Evidens PBD: Padanan kad dan pemerhatian guru.

    SP disasar: 5.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. TP2

    Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian.

    Aktiviti: Murid menerangkan secara lisan maksud taburan binomial X ~ B(n, p) dan peranan n, p, q menggunakan contoh melambung syiling.

    Evidens PBD: Penerangan lisan; guru semak sebutan n, p, q.

    SP disasar: 5.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  3. TP3

    Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan tugasan mudah.

    Aktiviti: Murid menentukan P(X = r) bagi X ~ B(5, 0.4) dan min, varians dan sisihan piawai pada lembaran kerja.

    Evidens PBD: Lembaran kerja: kebarangkalian, min = np, varians = npq.

    SP disasar: 5.2.2, 5.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  4. TP4

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

    Aktiviti: Murid membina jadual, melukis graf taburan binomial B(4, 0.5) dan mentafsir maklumat daripada graf.

    Evidens PBD: Jadual, graf dan tafsiran bertulis.

    SP disasar: 5.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  5. TP5

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis masalah penghantaran barang rosak 10% daripada sampel 8 unit, memutuskan sama ada kualiti boleh diterima dan menjustifikasi.

    Evidens PBD: Rubrik: model B(n,p), pengiraan, keputusan berjustifikasi.

    SP disasar: 5.2.2, 5.2.5 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati
  6. TP6

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

    Aktiviti: Murid mereka situasi binomial sendiri (cth kuiz aneka pilihan), mengira P(X ≥ 1) dan min jangkaan, serta menyediakan skema.

    Evidens PBD: Soalan cipta, skema dan semakan rakan.

    SP disasar: 5.2.2, 5.2.4, 5.2.5 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 29 unit Matematik Tambahan Tingkatan 5 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 5

Unit lain dalam 5.0 TABURAN KEBARANGKALIAN

  1. 5.1 Pemboleh Ubah Rawak
  2. 5.2 Taburan Binomial
  3. 5.3 Taburan Normal