2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik
Unit ini melatih penyelesaian persamaan kuadratik dengan penyempurnaan kuasa dua dan rumus, pembentukan persamaan daripada punca, serta penyelesaian ketaksamaan kuadratik.
SP 2.1.1Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua dan rumus.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan
Murid perlu mencari punca persamaan kuadratik dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua dan dengan rumus; kalkulator hanya untuk menyemak.
- IsiPenyempurnaan kuasa duaHuraian
Jadikan pekali x² = 1, tambah (b/2)² kepada kedua-dua belah, tulis (x + p)² = q, ambil punca ±.
Contohx² + 4x − 7 = 0: (x + 2)² = 11, x = −2 ± √11, iaitu 1.317 atau −5.317.
- IsiRumus kuadratikHuraian
Rumus x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a) diterbitkan daripada penyempurnaan kuasa dua bagi ax² + bx + c = 0.
Contoh3x² − 5x + 1 = 0: x = (5 ± √13)/6, iaitu 1.434 atau 0.232.
JadualDua kaedah menyelesaikan ax² + bx + c = 0
| Kaedah | Idea utama |
|---|---|
| Penyempurnaan kuasa dua | Tulis dalam bentuk (x + p)² = q, kemudian punca kuasa dua kedua-dua belah |
| Rumus | x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a |
Peta alirContoh: x² − 4x − 1 = 0 (penyempurnaan kuasa dua)
- x² − 4x = 1
- x² − 4x + (−2)² = 1 + 4
- (x − 2)² = 5
- x − 2 = ±√5
- x = 4.236 atau x = −0.236
Peta alirContoh: 2x² − 3x − 4 = 0 (rumus)
- a = 2, b = −3, c = −4
- b² − 4ac = 9 + 32 = 41
- x = (3 ± √41)/4
- x = 2.351 atau x = −0.851
SP 2.1.2Membentuk persamaan kuadratik daripada punca-punca yang diberi.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Membentuk
Murid perlu membina persamaan kuadratik apabila punca α dan β diberi, menggunakan (x − α)(x − β) = 0 atau x² − (α + β)x + αβ = 0.
- IsiPunca integerHuraian
Kira hasil tambah punca (HTP) dan hasil darab punca (HDP).
ContohPunca 3 dan −4: HTP = −1, HDP = −12, maka x² + x − 12 = 0.
- IsiPunca pecahan dan bentuk amHuraian
Selepas membentuk persamaan, darab dengan penyebut supaya pekali integer ax² + bx + c = 0.
ContohPunca 2/3 dan −1: x² + (1/3)x − 2/3 = 0, darab 3: 3x² + x − 2 = 0.
NotaMembentuk persamaan daripada punca
Jika punca-punca ialah α dan β, persamaannya ialah (x − α)(x − β) = 0 atau x² − (α + β)x + αβ = 0, iaitu x² − (HTP)x + (HDP) = 0. Contoh: punca 2 dan −5 memberi x² + 3x − 10 = 0.
SP 2.1.3Menyelesaikan ketaksamaan kuadratik.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan
Murid perlu mencari julat nilai x yang memenuhi ketaksamaan kuadratik dengan lakaran graf, garis nombor atau jadual.
- IsiKaedah lakaran grafHuraian
Faktorkan, cari punca, lakar graf. Bagi a > 0, "< 0" ialah bahagian di bawah paksi-x (di antara punca).
Contohx² − 2x − 8 < 0: (x − 4)(x + 2) < 0, maka −2 < x < 4.
- IsiKaedah garis nombor atau jadualHuraian
Tanda setiap faktor diuji pada setiap selang di kiri, di antara dan di kanan punca.
Contoh(2x + 3)(x − 1) ≥ 0: hasil darab positif apabila x ≤ −3/2 atau x ≥ 1.
Peta alirContoh: selesaikan x² − x − 6 ≥ 0
- Faktorkan: (x − 3)(x + 2) ≥ 0
- Punca: x = −2 dan x = 3
- Lakar graf y = x² − x − 6 (bentuk U) atau guna garis nombor/jadual
- Bahagian graf di atas paksi-x: x ≤ −2 atau x ≥ 3
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- HTP HDP
- Hasil Tambah Punca dan Hasil Darab Punca: x² − (HTP)x + (HDP) = 0
Kad imbas
- Rumus kuadratik
- x = (−b ± √(b² − 4ac))/2a
- Penyempurnaan kuasa dua x² + bx
- Tambah (b/2)²
- Persamaan dengan punca α, β
- x² − (α + β)x + αβ = 0
- (x − a)(x − b) < 0, a < b
- a < x < b
- (x − a)(x − b) > 0, a < b
- x < a atau x > b
Semak kefahaman
Selesaikan x² + 6x + 4 = 0 menggunakan penyempurnaan kuasa dua. Beri jawapan dalam bentuk surd. (SP 2.1.1)
Lihat jawapan
(x + 3)² = 5, x = −3 ± √5.
Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca 4 dan −1. (SP 2.1.2)
Lihat jawapan
HTP = 3, HDP = −4, maka x² − 3x − 4 = 0.
Selesaikan ketaksamaan x² − x − 6 < 0. (SP 2.1.3)
Lihat jawapan
(x − 3)(x + 2) < 0, maka −2 < x < 3.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Tahap Penguasaan (TP)
| TP | Tafsiran |
|---|---|
| TP1 | Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi kuadratik. |
| TP2 | Mempamerkan kefahaman tentang fungsi kuadratik. |
| TP3 | Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi kuadratik untuk melaksanakan tugasan mudah. |
| TP4 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. |
| TP5 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. |
| TP6 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. |
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
- TP1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi kuadratik.
Aktiviti: Individu, 10 minit: murid menyelesaikan x² − 5x + 6 = 0 melalui pemfaktoran dan membuat padanan dengan kad bentuk am ax² + bx + c = 0 untuk mengingat kaedah yang telah dipelajari.
Evidens PBD: Lembaran pemfaktoran dan semakan guru.
SP disasar: 2.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - TP2
Mempamerkan kefahaman tentang fungsi kuadratik.
Aktiviti: Berpasangan, 15 minit: murid menyelesaikan x² − 4x − 1 = 0 menggunakan penyempurnaan kuasa dua dan menerangkan setiap langkah menambah dan menolak (b/2)² kepada rakan.
Evidens PBD: Penyelesaian penyempurnaan kuasa dua dan penerangan lisan.
SP disasar: 2.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - TP3
Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi kuadratik untuk melaksanakan tugasan mudah.
Aktiviti: Individu, 20 minit: murid menyelesaikan 2x² − 3x − 4 = 0 menggunakan rumus x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a dan membentuk persamaan kuadratik daripada punca 2 dan −3 (x² + x − 6 = 0).
Evidens PBD: Lembaran penyelesaian rumus dan persamaan terbentuk.
SP disasar: 2.1.1, 2.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - TP4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Aktiviti: Kumpulan, 20 minit: murid menyelesaikan ketaksamaan x² − 2x − 3 < 0 menggunakan garis nombor atau lakaran graf dan menyatakan julat x yang betul (−1 < x < 3).
Evidens PBD: Garis nombor atau lakaran dan julat betul.
SP disasar: 2.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - TP5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Aktiviti: Kumpulan, 25 minit: murid menilai penyelesaian ketaksamaan yang salah (tanda ketaksamaan terbalik), membetulkan, dan membuat keputusan kaedah paling sesuai (pemfaktoran, kuasa dua, rumus) dengan justifikasi.
Evidens PBD: Pembetulan dan justifikasi pemilihan kaedah.
SP disasar: 2.1.1, 2.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati - TP6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Aktiviti: Kumpulan, 30 minit: murid mereka satu masalah harian yang melibatkan persamaan atau ketaksamaan kuadratik (misalnya ukuran taman) dengan penyelesaian lengkap dan bertukar dengan kumpulan lain.
Evidens PBD: Soalan reka, skema dan rubrik kreativiti dan ketepatan.
SP disasar: 2.1.2, 2.1.3 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 30 unit Matematik Tambahan Tingkatan 4 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.