1.3 Fungsi Songsang
Unit ini menerangkan songsangan fungsi, sifat-sifat fungsi songsang dan cara menentukan fungsi songsang.
SP 1.3.1Memerihalkan songsangan suatu fungsi.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Memerihalkan
Murid perlu menerangkan bahawa fungsi songsang f⁻¹ memetakan imej kembali kepada objek asal, dan graf f⁻¹ ialah pantulan graf f pada garis y = x.
- IsiMaksud dan simbol f⁻¹Huraian
Jika f(a) = b, maka f⁻¹(b) = a. f⁻¹ bukan 1/f.
Contohf(x) = x + 5: f(4) = 9, maka f⁻¹(9) = 4.
- IsiHubungan grafHuraian
Graf f dan f⁻¹ simetri pada garis y = x; titik (a, b) pada f menjadi (b, a) pada f⁻¹.
ContohTitik (1, 3) pada graf f(x) = 2x + 1 menjadi (3, 1) pada graf f⁻¹.
NotaMaksud fungsi songsang
Fungsi songsang f⁻¹ memetakan setiap imej kembali kepada objek asalnya. Jika f(a) = b, maka f⁻¹(b) = a. Hanya fungsi satu kepada satu mempunyai fungsi songsang.
SP 1.3.2Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifat-sifat fungsi songsang.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Membuat
Murid perlu membuat dan mengesahkan konjektur bahawa hanya fungsi satu dengan satu mempunyai fungsi songsang.
- IsiKonjekturHuraian
Jika dua objek berkongsi satu imej, songsangannya akan memetakan satu imej kepada dua objek, maka songsangan itu bukan fungsi.
Contohf(x) = x²: f(2) = f(−2) = 4, jadi tiada f⁻¹ bagi domain semua nombor nyata.
- IsiPengesahanHuraian
Uji dengan ujian garis mengufuk: fungsi satu dengan satu jika setiap garis mengufuk memotong graf sekali sahaja.
Contohf(x) = x² bagi x ≥ 0 lulus ujian, dan f⁻¹(x) = √x wujud.
Peta buihSifat-sifat fungsi songsang
SP 1.3.3Menentukan fungsi songsang.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menentukan
Murid perlu mencari ungkapan f⁻¹(x) bagi fungsi algebra dan menyemak dengan ff⁻¹(x) = f⁻¹f(x) = x.
- IsiFungsi linearHuraian
Tulis y = f(x), jadikan x perkara rumus, kemudian tukar y kepada x.
Contohf(x) = 5x − 2: x = (y + 2)/5, maka f⁻¹(x) = (x + 2)/5; semak ff⁻¹(x) = 5(x + 2)/5 − 2 = x.
- IsiFungsi pecahanHuraian
Darab silang, kumpulkan sebutan x, kemudian faktorkan x.
Contohf(x) = (x + 1)/(x − 2), x ≠ 2: y(x − 2) = x + 1, x(y − 1) = 2y + 1, f⁻¹(x) = (2x + 1)/(x − 1), x ≠ 1. Semak: f(3) = 4 dan f⁻¹(4) = 3.
Peta alirContoh: tentukan f⁻¹ bagi f(x) = 3x − 4
- Tulis y = 3x − 4
- Jadikan x perkara rumus: x = (y + 4)/3
- Gantikan y dengan x: f⁻¹(x) = (x + 4)/3
- Semak: f⁻¹(5) = 3 dan f(3) = 5
Peta alirContoh: f(x) = 4/(x − 1), x ≠ 1
- y = 4/(x − 1)
- x − 1 = 4/y
- x = 4/y + 1
- f⁻¹(x) = (4 + x)/x, x ≠ 0
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- PSG
- Pantulan pada y = x, Satu kepada satu, Gubahan ff⁻¹(x) memberi x
Kad imbas
- Jika f(a) = b
- f⁻¹(b) = a
- Fungsi yang ada songsang
- Fungsi satu kepada satu
- Graf f dan f⁻¹
- Pantulan pada garis y = x
- ff⁻¹(x)
- x
- Songsang f(x) = 2x + 3
- f⁻¹(x) = (x − 3)/2
Semak kefahaman
Diberi f(5) = 12. Nyatakan nilai f⁻¹(12). (SP 1.3.1)
Lihat jawapan
Jika f(5) = 12, maka f⁻¹(12) = 5.
Nyatakan jenis fungsi yang mempunyai fungsi songsang. (SP 1.3.2)
Lihat jawapan
Hanya fungsi satu dengan satu mempunyai fungsi songsang.
Cari f⁻¹(x) bagi f(x) = 4x − 7. (SP 1.3.3)
Lihat jawapan
y = 4x − 7, x = (y + 7)/4, maka f⁻¹(x) = (x + 7)/4.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Tahap Penguasaan (TP)
| TP | Tafsiran |
|---|---|
| TP1 | Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi. |
| TP2 | Mempamerkan kefahaman tentang fungsi. |
| TP3 | Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi untuk melaksanakan tugasan mudah. |
| TP4 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. |
| TP5 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. |
| TP6 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. |
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
- TP1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi.
Aktiviti: Individu, 8 minit: murid mengenal pasti daripada gambar rajah anak panah fungsi yang mempunyai songsangan dan menerangkan songsangan sebagai 'menyongsangkan' objek dan imej.
Evidens PBD: Kad pengenalpastian dan soal jawab lisan.
SP disasar: 1.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - TP2
Mempamerkan kefahaman tentang fungsi.
Aktiviti: Berpasangan, 15 minit: murid menghuraikan songsangan fungsi dalam jadual dan melukis graf f dan f⁻¹ pada paksi yang sama, memerhati pantulan pada garis y = x.
Evidens PBD: Graf berpasangan dan huraian serta semakan guru.
SP disasar: 1.3.1, 1.3.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - TP3
Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi untuk melaksanakan tugasan mudah.
Aktiviti: Kumpulan, 20 minit: murid membuat dan mengesahkan konjektur bahawa ff⁻¹(x) = x dan f⁻¹f(x) = x dengan tiga contoh fungsi linear dan membuat generalisasi.
Evidens PBD: Konjektur, pengesahan dengan contoh dan generalisasi.
SP disasar: 1.3.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - TP4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Aktiviti: Individu, 20 minit: murid menentukan f⁻¹ bagi f(x) = 3x − 4 dan f(x) = 4/(x − 1), x ≠ 1, dengan menukar subjek dan menulis domain songsangan.
Evidens PBD: Lembaran penentuan f⁻¹ dengan domain.
SP disasar: 1.3.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - TP5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Aktiviti: Kumpulan, 25 minit: murid menganalisis pelbagai fungsi untuk menentukan syarat fungsi mempunyai songsangan, menggunakan ujian garis mengufuk, lalu menilai fungsi yang perlu dihadkan domain.
Evidens PBD: Analisis ujian garis mengufuk dan justifikasi.
SP disasar: 1.3.1, 1.3.2 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati - TP6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Aktiviti: Kumpulan, 30 minit: murid mereka satu permainan kad 'Cari Songsangan' dengan fungsi linear dan pecahan, lengkap dengan kunci jawapan dan syarat domain, lalu bertukar dengan kumpulan lain.
Evidens PBD: Set kad dan kunci jawapan serta rubrik ketepatan.
SP disasar: 1.3.3, 1.3.1 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 30 unit Matematik Tambahan Tingkatan 4 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.