Langkau ke kandungan
Matematik Tambahan · Tingkatan 5 (SPM) · 2.0 PEMBEZAAN

2.4 Aplikasi Pembezaan

Anda akan menggunakan pembezaan untuk tangen dan normal, titik pusingan, nilai maksimum dan minimum, kadar perubahan terhubung serta perubahan kecil dan penghampiran.

  • KSSM
  • 9 SP
  • 25 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 5

SP 2.4.1Mentafsir kecerunan tangen kepada satu lengkung pada titik-titik yang berlainan.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Mentafsir

Murid perlu mentafsir tanda dan nilai kecerunan tangen pada titik berlainan sesuatu lengkung (menokok, menyusut, mengufuk) melalui lakaran tangen dan terbitan, termasuk kaitan dengan terbitan kedua dan titik lengkok balas.

  1. IsiTanda kecerunan tangen
    Huraian

    dy/dx > 0: lengkung menokok; dy/dx < 0: menyusut; dy/dx = 0: tangen mengufuk.

    Contoh

    y = x² − 4x: x = 1 kecerunan −2 (menyusut), x = 3 kecerunan 2 (menokok).

  2. IsiPerubahan kecerunan dan lengkok balas
    Huraian

    d²y/dx² menunjukkan kecerunan bertambah atau berkurang; titik lengkok balas apabila d²y/dx² = 0 dan bertukar tanda.

    Contoh

    y = x³: d²y/dx² = 6x bertukar tanda pada x = 0, maka (0, 0) titik lengkok balas.

JadualMentafsir kecerunan tangen y = x² − 4x (dy/dx = 2x − 4)

xdy/dxTafsiran
1−2y menyusut
20Tangen mengufuk (titik pusingan)
32y menokok
SP 2.4.1

Peta pokokAplikasi pembezaan

dy/dx
Kecerunan
  • tangen m
  • normal −1/m
Titik pusingan
  • dy/dx = 0
  • d²y/dx² tentukan sifat
Kadar terhubung
  • dy/dt = dy/dx × dx/dt
Perubahan kecil
  • δy ≈ dy/dx × δx
SP 2.4.1SP 2.4.2SP 2.4.4SP 2.4.5SP 2.4.6SP 2.4.8

SP 2.4.2Menentukan persamaan tangen dan normal kepada satu lengkung pada suatu titik.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid perlu menentukan persamaan tangen dan persamaan normal kepada lengkung pada suatu titik.

  1. IsiPersamaan tangen
    Huraian

    m = dy/dx pada x₁; y − y₁ = m(x − x₁).

    Contoh

    y = x² + 3x pada (1, 4): m = 5, tangen y = 5x − 1.

  2. IsiPersamaan normal
    Huraian

    Kecerunan normal = −1/m; y − y₁ = (−1/m)(x − x₁).

    Contoh

    Pada (1, 4) di atas: normal 5y = −x + 21.

NotaTangen dan normal

Kecerunan tangen pada (x₁, y₁) ialah m = dy/dx pada x₁. Persamaan tangen: y − y₁ = m(x − x₁). Normal berserenjang dengan tangen: kecerunan normal = −1/m, persamaan y − y₁ = (−1/m)(x − x₁).

SP 2.4.2SP 2.4.3

Peta alirContoh: Tangen dan normal y = x² + 3x pada (1, 4)

  1. dy/dx = 2x + 3 = 5 pada x = 1
  2. Tangen: y − 4 = 5(x − 1), y = 5x − 1
  3. Kecerunan normal = −1/5
  4. Normal: y − 4 = −1/5(x − 1), 5y = −x + 21
SP 2.4.2

SP 2.4.3Menyelesaikan masalah yang melibatkan tangen dan normal.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan

Murid perlu menyelesaikan masalah tangen dan normal, contohnya mencari titik dengan kecerunan tertentu, tangen selari atau berserenjang dengan garis lain.

  1. IsiTangen selari
    Huraian

    Tangen selari dengan garis y = mx + c bermaksud dy/dx = m.

    Contoh

    y = x² − 2x + 3, tangen selari y = 4x: 2x − 2 = 4, titik (3, 6).

  2. IsiTangen berserenjang
    Huraian

    Hasil darab kecerunan = −1.

    Contoh

    Tangen kepada y = x² berserenjang dengan y = −x/2 + 1: kecerunan 2, x = 1, titik (1, 1).

Peta alirContoh: Tangen selari dengan y = 4x bagi y = x² − 2x + 3

  1. dy/dx = 2x − 2
  2. Selari: 2x − 2 = 4, x = 3
  3. y = 9 − 6 + 3 = 6
  4. Titik (3, 6)
SP 2.4.3

SP 2.4.4Menentukan titik pusingan dan menghuraikan sifat titik pusingan tersebut.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid perlu menentukan titik pusingan (dy/dx = 0) dan menghuraikan sifatnya (maksimum, minimum atau lengkok balas) dengan kaedah lakaran tangen (tanda dy/dx) atau kaedah terbitan kedua.

  1. IsiKaedah terbitan kedua
    Huraian

    d²y/dx² < 0: maksimum; > 0: minimum.

    Contoh

    y = x³ − 3x²: (0, 0) maksimum (d²y/dx² = −6), (2, −4) minimum (d²y/dx² = 6).

  2. IsiKaedah lakaran tangen (tanda)
    Huraian

    Uji tanda dy/dx sebelum dan selepas titik: + ke − maksimum, − ke + minimum, tiada perubahan tanda: titik lengkok balas.

    Contoh

    y = x³: dy/dx = 3x² positif di kedua-dua belah x = 0, maka (0, 0) titik lengkok balas, bukan maksimum/minimum.

Peta alirContoh: Titik pusingan y = x³ − 3x²

  1. dy/dx = 3x² − 6x = 3x(x − 2) = 0, x = 0 atau 2
  2. d²y/dx² = 6x − 6
  3. x = 0: d²y/dx² = −6 < 0, (0, 0) titik maksimum
  4. x = 2: d²y/dx² = 6 > 0, (2, −4) titik minimum
SP 2.4.4

JadualSifat titik pusingan

UjianMaksimumMinimum
dy/dx00
d²y/dx²< 0> 0
Tanda dy/dx melintasi titik+ ke −− ke +
SP 2.4.4

Tahukah andaTitik lengkok balas

Jika d²y/dx² = 0 dan tanda d²y/dx² berubah di sekitar titik itu, titik tersebut ialah titik lengkok balas, iaitu kelengkungan graf bertukar arah.

SP 2.4.4

SP 2.4.5Menyelesaikan masalah yang melibatkan nilai maksimum dan nilai minimum serta mentafsir penyelesaian tersebut.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan

Murid perlu membina fungsi bagi kuantiti yang hendak dioptimumkan, mencari nilai maksimum atau minimum dengan pembezaan dan mentafsir penyelesaian dalam konteks.

  1. IsiBina fungsi satu pemboleh ubah
    Huraian

    Guna kekangan untuk menghapuskan satu pemboleh ubah, kemudian bezakan dan samakan dengan sifar.

    Contoh

    Dawai 40 cm: A = x(20 − x), dA/dx = 0 pada x = 10, luas maksimum 100 cm².

  2. IsiSahkan dan tafsir
    Huraian

    Uji d²/dx² dan nyatakan maksud jawapan serta julat yang munasabah.

    Contoh

    Kotak terbuka daripada kepingan 12 cm: V = x(12 − 2x)², x = 2 (x = 6 ditolak kerana V = 0), V maksimum 128 cm³.

Peta alirContoh: Luas maksimum dawai 40 cm

  1. Segi empat tepat x × (20 − x), A = 20x − x²
  2. dA/dx = 20 − 2x = 0, x = 10
  3. d²A/dx² = −2 < 0, maksimum
  4. Luas maksimum = 10 × 10 = 100 cm² (bentuk segi empat sama)
SP 2.4.5

SP 2.4.6Mentafsir dan menentukan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Mentafsir

Murid perlu menentukan dan mentafsir kadar perubahan kuantiti terhubung menggunakan petua rantai dy/dt = dy/dx × dx/dt (dua pemboleh ubah sahaja).

  1. IsiPetua rantai terhadap masa
    Huraian

    Bezakan hubungan y dan x, darab dengan dx/dt.

    Contoh

    y = x² + 3x, dx/dt = 2: pada x = 1, dy/dt = 5 × 2 = 10.

  2. IsiTafsir tanda kadar
    Huraian

    Kadar positif bermaksud kuantiti menokok; negatif menyusut.

    Contoh

    Luas A = x², dx/dt = −0.5 cm/s pada x = 4: dA/dt = −4 cm²/s, luas sedang berkurang.

NotaKadar perubahan terhubung

Jika y bergantung pada x dan x berubah dengan masa t, maka dy/dt = dy/dx × dx/dt (petua rantai). Kadar positif bermaksud kuantiti menokok, negatif bermaksud menyusut.

SP 2.4.6SP 2.4.7

Peta alirContoh: Jejari bulatan menokok 0.2 cm/s

  1. A = πj², dA/dj = 2πj
  2. dA/dt = 2πj × dj/dt
  3. Pada j = 5: dA/dt = 2π(5)(0.2)
  4. = 2π ≈ 6.284 cm²/s
SP 2.4.6SP 2.4.7

SP 2.4.7Menyelesaikan masalah yang melibatkan kadar perubahan bagi kuantiti yang terhubung dan mentafsir penyelesaian tersebut.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan

Murid perlu menyelesaikan masalah kehidupan sebenar kadar perubahan terhubung (dua pemboleh ubah) dan mentafsir penyelesaian.

  1. IsiBulatan dan sfera
    Huraian

    Tulis rumus kuantiti (luas/isi padu) dalam satu pemboleh ubah, bezakan dan guna petua rantai.

    Contoh

    Belon dipam 20 cm³/s: 20 = 4π(2²) dj/dt, dj/dt = 5/(4π) ≈ 0.398 cm/s apabila j = 2 cm.

  2. IsiTafsir dalam konteks
    Huraian

    Nyatakan unit dan maksud jawapan.

    Contoh

    Riak air: j menokok 0.2 cm/s, pada j = 5 cm dA/dt = 2π ≈ 6.284 cm²/s; luas riak bertambah semakin cepat apabila j membesar.

Peta alirContoh: Belon sfera dipam 20 cm³/s

  1. V = 4/3 πj³, dV/dj = 4πj²
  2. 20 = 4π(2²) × dj/dt pada j = 2
  3. dj/dt = 20/(16π) = 5/(4π)
  4. ≈ 0.398 cm/s
SP 2.4.7

SP 2.4.8Mentafsir dan menentukan perubahan kecil dan penghampiran suatu kuantiti.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Mentafsir

Murid perlu menentukan perubahan kecil δy ≈ (dy/dx)δx dan nilai penghampiran y + δy, serta mentafsirnya.

  1. IsiPerubahan kecil
    Huraian

    δy ≈ dy/dx × δx bagi δx yang kecil.

    Contoh

    y = x³, x berubah 2 ke 2.01: δy ≈ 12 × 0.01 = 0.12.

  2. IsiNilai penghampiran
    Huraian

    Nilai baharu ≈ y + δy; pilih x berhampiran yang mudah dikira.

    Contoh

    √25.1: y = √x, dy/dx = 1/10 pada x = 25, √25.1 ≈ 5 + 0.01 = 5.01.

NotaPerubahan kecil dan penghampiran

Bagi perubahan kecil δx, δy ≈ dy/dx × δx. Nilai baharu y ≈ y + δy. Peratus perubahan = (δy/y) × 100%.

SP 2.4.8SP 2.4.9

Peta alirContoh: Anggarkan √25.1

  1. y = √x, dy/dx = 1/(2√x) = 1/10 pada x = 25
  2. δx = 0.1, δy ≈ 0.1 × 0.1 = 0.01
  3. √25.1 ≈ 5 + 0.01 = 5.01
SP 2.4.8

SP 2.4.9Menyelesaikan masalah yang melibatkan perubahan kecil dan penghampiran suatu kuantiti.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan

Murid perlu menyelesaikan masalah kehidupan sebenar perubahan kecil, penghampiran dan peratus perubahan.

  1. IsiPerubahan kecil isi padu/luas
    Huraian

    Bezakan rumus kuantiti, darab dengan perubahan kecil pemboleh ubah.

    Contoh

    Jejari sfera 5 → 5.02 cm: δV ≈ 100π × 0.02 = 2π ≈ 6.284 cm³.

  2. IsiPeratus perubahan
    Huraian

    Peratus = (δy/y) × 100%.

    Contoh

    Sisi segi empat sama bertambah 1%: δA ≈ 2x(0.01x) = 0.02x², iaitu 2%.

Peta alirContoh: Jejari sfera 5 cm bertambah ke 5.02 cm

  1. V = 4/3 πj³, dV/dj = 4πj² = 100π
  2. δV ≈ 100π × 0.02 = 2π
  3. ≈ 6.284 cm³
SP 2.4.9

Ingat: mnemonik & kad imbas

Kad imbas

Kecerunan normal jika tangen m
−1/m
Syarat titik pusingan
dy/dx = 0
d²y/dx² < 0 bermaksud
Titik maksimum
Kadar terhubung
dy/dt = dy/dx × dx/dt
Perubahan kecil
δy ≈ dy/dx × δx
dy/dx positif pada suatu titik
y menokok di situ

Semak kefahaman

  1. Bagi y = x² − 6x, hitung kecerunan tangen pada x = 1 dan nyatakan sama ada y menokok atau menyusut. (SP 2.4.1)

    Lihat jawapan

    dy/dx = 2x − 6 = −4 pada x = 1, negatif, maka y menyusut.

  2. Cari persamaan tangen kepada y = x³ pada titik (1, 1). (SP 2.4.2)

    Lihat jawapan

    m = 3x² = 3; y − 1 = 3(x − 1), y = 3x − 2.

  3. Tangen kepada y = x² − 4x selari dengan garis y = 2x + 1. Cari koordinat titik sentuhan. (SP 2.4.3)

    Lihat jawapan

    2x − 4 = 2, x = 3, y = 9 − 12 = −3; titik (3, −3).

  4. Cari titik pusingan bagi y = x² − 8x + 3 dan tentukan sifatnya. (SP 2.4.4)

    Lihat jawapan

    dy/dx = 2x − 8 = 0, x = 4, y = −13; d²y/dx² = 2 positif, maka (4, −13) titik minimum.

  5. Perimeter sebuah segi empat tepat ialah 60 m. Luasnya A = x(30 − x). Cari luas maksimum. (SP 2.4.5)

    Lihat jawapan

    dA/dx = 30 − 2x = 0, x = 15; A = 15 × 15 = 225 m².

  6. Jejari bulatan menokok 0.1 cm/s. Hitung kadar perubahan luas apabila j = 5 cm. (SP 2.4.6)

    Lihat jawapan

    dA/dt = 2πj × dj/dt = 2π(5)(0.1) = π ≈ 3.142 cm²/s.

  7. Isi padu sebuah kubus bersisi x cm bertambah pada kadar 12 cm³/s. Hitung kadar perubahan sisi apabila x = 2 cm. (SP 2.4.7)

    Lihat jawapan

    dV/dt = 3x² dx/dt, 12 = 3(4) dx/dt, dx/dt = 1 cm/s.

  8. Diberi y = x⁴. Cari perubahan kecil y apabila x berubah dari 2 ke 2.01. (SP 2.4.8)

    Lihat jawapan

    dy/dx = 4x³ = 32; δy ≈ 32 × 0.01 = 0.32.

  9. Sisi sebuah kubus bertambah dari 5 cm ke 5.01 cm. Cari perubahan kecil isi padu. (SP 2.4.9)

    Lihat jawapan

    dV/dx = 3x² = 75; δV ≈ 75 × 0.01 = 0.75 cm³.

25 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Tahap Penguasaan (TP)

TPTafsiran
TP1Mempamerkan pengetahuan asas tentang pembezaan.
TP2Mempamerkan kefahaman tentang pembezaan.
TP3Mengaplikasikan kefahaman tentang pembezaan untuk melaksanakan tugasan mudah.
TP4Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
TP5Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
TP6Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
  1. TP1

    Mempamerkan pengetahuan asas tentang pembezaan.

    Aktiviti: Murid memadankan lakaran lengkung dengan kad 'tangen', 'normal', 'maksimum' dan 'minimum' secara berpasangan.

    Evidens PBD: Padanan kad dipantau guru.

    SP disasar: 2.4.1, 2.4.4 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. TP2

    Mempamerkan kefahaman tentang pembezaan.

    Aktiviti: Murid menerangkan kepada rakan makna kecerunan tangen bernilai positif, negatif atau sifar pada titik-titik berlainan lengkung yang dilakar.

    Evidens PBD: Penerangan lisan; guru dengar tafsiran kecerunan.

    SP disasar: 2.4.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  3. TP3

    Mengaplikasikan kefahaman tentang pembezaan untuk melaksanakan tugasan mudah.

    Aktiviti: Murid menentukan persamaan tangen dan normal pada satu titik lengkung seperti y = x² + 1, serta titik pusingan dan jenisnya menggunakan ujian terbitan kedua.

    Evidens PBD: Lembaran kerja: persamaan tangen, normal, titik pusingan.

    SP disasar: 2.4.2, 2.4.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  4. TP4

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

    Aktiviti: Murid menyelesaikan masalah tangen dan normal, kuantiti terhubung (cth jejari belon membesar) dan penghampiran kecil δy pada lembaran kerja.

    Evidens PBD: Penyelesaian bertulis beserta unit.

    SP disasar: 2.4.3, 2.4.6, 2.4.8 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  5. TP5

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menyelesaikan masalah optimum seperti isi padu maksimum kotak daripada kadbod dan mentafsir jawapan, kemudian membentang.

    Evidens PBD: Rubrik: model, pembezaan, tafsiran penyelesaian.

    SP disasar: 2.4.5, 2.4.7, 2.4.9 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati
  6. TP6

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pembezaan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

    Aktiviti: Murid mereka masalah bukan rutin yang menggabungkan nilai maksimum dengan kadar perubahan terhubung atau perubahan kecil, menyelesaikan dan mentafsir jawapan.

    Evidens PBD: Portfolio masalah cipta dan penyelesaian.

    SP disasar: 2.4.5, 2.4.7, 2.4.9 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 29 unit Matematik Tambahan Tingkatan 5 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 5

Unit lain dalam 2.0 PEMBEZAAN

  1. 2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan
  2. 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama
  3. 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua
  4. 2.4 Aplikasi Pembezaan