6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen
Anda akan melukis dan melakar graf y = a sin bx + c, y = a kos bx + c dan y = a tan bx + c serta menyelesaikan persamaan secara graf.
SP 6.3.1Melukis dan melakar graf fungsi trigonometri:- (i) y = a sin bx + c.
- (ii) y = a kos bx + c.
- (iii) y = a tan bx + c dengan a, b dan c ialah pemalar dan b > 0.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Melukis
Murid perlu melukis dan melakar graf (i) y = a sin bx + c, (ii) y = a kos bx + c dan (iii) y = a tan bx + c (b > 0), membincangkan kesan pemalar a, b, c serta graf fungsi bernilai mutlak.
- Isi(i) y = a sin bx + cHuraian
Amplitud |a|, kala 360°/b, garis tengah y = c.
Contohy = 2 sin 2x + 1: maksimum 3, minimum −1, kala 180°.
- Isi(ii) y = a kos bx + c dan nilai mutlakHuraian
Graf kos bermula pada maksimum (a > 0). Bagi y = |a kos bx|, bahagian di bawah paksi-x dipantulkan ke atas.
Contohy = |2 kos x|: julat 0 hingga 2, kala 180°.
- Isi(iii) y = a tan bx + cHuraian
Tiada amplitud, kala 180°/b, asimptot apabila bx = 90°, 270°, ...
Contohy = tan 2x: kala 90°, asimptot x = 45°, 135°.
JadualCiri graf fungsi trigonometri
| Fungsi | Ciri utama | Contoh |
|---|---|---|
| (i) y = a sin bx + c | Amplitud |a|, kala 360°/b, garis tengah y = c | y = 2 sin 2x + 1: maksimum 3, minimum −1, kala 180° |
| (ii) y = a kos bx + c | Amplitud |a|, kala 360°/b, bermula pada nilai maksimum jika a positif | y = 3 kos 2x + 1: maksimum 4, minimum −2, kala 180° |
| (iii) y = a tan bx + c | Tiada amplitud, kala 180°/b, ada asimptot apabila bx = 90°, 270°, ... | y = tan 2x: kala 90°, asimptot x = 45° dan x = 135° |
JadualCiri graf
| Fungsi | Amplitud | Kala | Nilai maks/min |
|---|---|---|---|
| (i) y = a sin bx + c | |a| | 360°/b | c ± |a| |
| (ii) y = a kos bx + c | |a| | 360°/b | c ± |a| |
| (iii) y = a tan bx + c | tiada | 180°/b | tiada (ada asimptot) |
Poin utamaKesan pemalar
- a: regangan mencancang (amplitud); a negatif memantulkan graf pada paksi-x
- b: bilangan kitaran dalam 360° (sin, kos) atau 180° (tan)
- c: translasi mencancang ke atas (c > 0) atau ke bawah
Peta alirContoh: Lakar y = 2 sin 2x + 1, 0° ≤ x ≤ 360°
- Amplitud 2, kala 180°, dua kitaran
- Maksimum 1 + 2 = 3, minimum 1 − 2 = −1
- Titik: (0°, 1), (45°, 3), (90°, 1), (135°, −1), (180°, 1)
- Ulang bagi 180° ≤ x ≤ 360°
Peta alirContoh: Lakar y = 3 kos x − 1
- Amplitud 3, kala 360°
- Maks 2 pada 0° dan 360°, min −4 pada 180°
- Garis tengah y = −1
Peta alirContoh: Lakar y = tan 2x
- Kala 180°/2 = 90°
- Asimptot pada x = 45°, 135°, 225°, 315°
- Melalui (0°, 0), (90°, 0), (180°, 0)
Peta buih bergandaGraf sin lawan tan
SP 6.3.2Menyelesaikan persamaan trigonometri dengan kaedah graf.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan
Murid perlu menyelesaikan persamaan trigonometri dengan kaedah graf: melakar dua graf pada paksi yang sama dan membilang titik persilangan, termasuk apabila sebelah lagi bukan pemalar.
- IsiGaris mengufuk (y pemalar)Huraian
Persilangan graf trigonometri dengan garis y = k memberi penyelesaian.
Contohsin 2x = 0.5, 0° ≤ x ≤ 360°: 4 persilangan, 4 penyelesaian.
- Isiy bukan pemalarHuraian
Susun sebagai f(x) = g(x), dengan g(x) garis lurus; lakar kedua-duanya.
Contohsin x = x/180, 0° ≤ x ≤ 360°: garis y = x/180 bersilang dengan lengkung sin pada x = 0° dan sekali antara 90° dan 180°, maka 2 penyelesaian.
Peta alirContoh: Bilangan penyelesaian sin 2x = 0.5, 0° ≤ x ≤ 360°
- Lakar y = sin 2x (dua kitaran)
- Lukis garis y = 0.5
- Kira titik persilangan: 4
- Bilangan penyelesaian = 4
Ingat: mnemonik & kad imbas
Kad imbas
- Amplitud y = a sin bx + c
- |a|
- Kala y = a kos bx + c
- 360°/b
- Kala y = a tan bx + c
- 180°/b
- Kesan c
- Translasi mencancang
- Penyelesaian graf
- Kira titik persilangan dua graf
Semak kefahaman
Bagi y = 3 kos 2x + 1, nyatakan amplitud, kala, nilai maksimum dan nilai minimum. (SP 6.3.1)
Lihat jawapan
Amplitud 3, kala 360°/2 = 180°, maksimum 3 + 1 = 4, minimum 1 − 3 = −2.
Dengan melakar y = kos x dan y = 0.5, cari penyelesaian kos x = 0.5 bagi 0° ≤ x ≤ 360°. (SP 6.3.2)
Lihat jawapan
Graf bersilang pada x = 60° dan x = 300°.
13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Tahap Penguasaan (TP)
| TP | Tafsiran |
|---|---|
| TP1 | Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi trigonometri. |
| TP2 | Mempamerkan kefahaman tentang fungsi trigonometri. |
| TP3 | Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. |
| TP4 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. |
| TP5 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. |
| TP6 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. |
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
- TP1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi trigonometri.
Aktiviti: Murid memadankan kad graf sin, kos dan tan dengan nama fungsi masing-masing, sambil menyebut bentuk asas, secara berpasangan.
Evidens PBD: Guru semak padanan graf dan nama.
SP disasar: 6.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - TP2
Mempamerkan kefahaman tentang fungsi trigonometri.
Aktiviti: Murid menerangkan kesan nilai a, b dan c pada graf y = a sin bx + c dengan membandingkan tiga graf tersedia.
Evidens PBD: Penerangan lisan; guru dengar sebutan amplitud, kala.
SP disasar: 6.3.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - TP3
Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah.
Aktiviti: Murid melukis dan melakar graf y = 2 sin x + 1 dan y = kos 2x pada kertas graf dengan jadual nilai.
Evidens PBD: Graf bertanda dan skala betul.
SP disasar: 6.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - TP4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Aktiviti: Murid menyelesaikan persamaan trigonometri seperti 2 sin x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 360° melalui garis lurus yang dilukis pada graf.
Evidens PBD: Graf dan titik persilangan ditandakan.
SP disasar: 6.3.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - TP5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis graf y = a tan bx + c, menentukan nilai a, b, c daripada graf diberi dan menjustifikasi dengan titik tertentu.
Evidens PBD: Rubrik: pengenalpastian nilai, justifikasi.
SP disasar: 6.3.1, 6.3.2 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati - TP6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Aktiviti: Murid mereka graf fungsi trigonometri yang memodelkan paras air pasang dan menggunakan kaedah graf untuk mencari masa tertentu.
Evidens PBD: Portfolio graf cipta dan penyelesaian.
SP disasar: 6.3.1, 6.3.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 29 unit Matematik Tambahan Tingkatan 5 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.