1.2 Fungsi Gubahan
Unit ini membina kefahaman tentang gubahan dua fungsi fg dan gf, mencari imej, objek dan fungsi berkaitan, serta menyelesaikan masalah.
SP 1.2.1Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Memerihalkan
Murid perlu menerangkan hasil gubahan dua fungsi: fg(x) bermaksud g dilakukan dahulu, kemudian f, dan susunan memberi kesan.
- IsiMaksud gubahanHuraian
fg(x) = f(g(x)). Imej g menjadi objek bagi f. Gambar rajah anak panah: x → g → g(x) → f → fg(x).
Contohf(x) = x + 1, g(x) = x²: 2 → g → 4 → f → 5, maka fg(2) = 5.
- IsiSusunan gubahanHuraian
Secara amnya fg ≠ gf, jadi tertib fungsi mesti diperhatikan.
ContohBagi f dan g yang sama: fg(x) = x² + 1 tetapi gf(x) = (x + 1)²; fg(2) = 5 manakala gf(2) = 9.
NotaMaksud fungsi gubahan
Gubahan fungsi f dan g, ditulis fg, bermaksud fg(x) = f(g(x)): fungsi g dilakukan dahulu, kemudian f. Secara amnya fg ≠ gf. f²(x) bermaksud ff(x).
Peta alirGambar rajah gubahan fg
- Objek x
- g memetakan x kepada g(x)
- f memetakan g(x) kepada f(g(x))
- Hasilnya fg(x)
SP 1.2.2Menentukan fungsi gubahan.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menentukan
Murid perlu membentuk ungkapan fungsi gubahan dua fungsi algebra dengan menggantikan satu fungsi ke dalam fungsi yang lain.
- IsiMencari fg(x)Huraian
Gantikan g(x) di tempat x dalam f.
Contohf(x) = 3x − 1, g(x) = x + 2: fg(x) = 3(x + 2) − 1 = 3x + 5.
- IsiMencari gf(x) dan f²(x)Huraian
Gantikan f(x) ke dalam g; f²(x) = ff(x).
Contohgf(x) = (3x − 1) + 2 = 3x + 1; f²(x) = 3(3x − 1) − 1 = 9x − 4.
Peta alirContoh: f(x) = x + 3, g(x) = 2x
- fg(x) = f(2x) = 2x + 3
- gf(x) = g(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6
- f²(x) = f(x + 3) = x + 6
- fg(2) = 2(2) + 3 = 7
- Jika fg(x) = 11: 2x + 3 = 11, maka x = 4
SP 1.2.3Menentukan imej suatu fungsi gubahan apabila objek diberi dan sebaliknya.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menentukan
Murid perlu mengira imej fungsi gubahan bagi objek yang diberi, dan mencari objek apabila imej gubahan diberi.
- IsiImej fungsi gubahanHuraian
Kira fungsi dalam dahulu, kemudian fungsi luar; atau gantikan ke dalam ungkapan fg(x).
Contohfg(x) = 3x + 5 (f(x) = 3x − 1, g(x) = x + 2): g(1) = 3, f(3) = 8, maka fg(1) = 8.
- IsiObjek fungsi gubahanHuraian
Samakan ungkapan gubahan dengan imej lalu selesaikan.
Contohfg(x) = 20: 3x + 5 = 20, x = 5.
SP 1.2.4Menentukan suatu fungsi berkaitan apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsinya diberi.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menentukan
Murid perlu mencari satu fungsi apabila fungsi gubahan dan satu daripada fungsinya diberi.
- IsiFungsi dalam (g) tidak diketahuiHuraian
Tulis f(g(x)) menggunakan rumus f, samakan dengan fg(x), kemudian jadikan g(x) perkara rumus.
Contohf(x) = 2x + 1, fg(x) = 6x − 5: 2g(x) + 1 = 6x − 5, g(x) = 3x − 3.
- IsiFungsi luar (f) tidak diketahuiHuraian
Gantikan u = g(x), ungkapkan x dalam u, kemudian tulis f(u) dan tukar u kepada x.
Contohg(x) = x − 2, fg(x) = x² − 4x + 5: u = x − 2, x = u + 2, f(u) = (u + 2)² − 4(u + 2) + 5 = u² + 1, maka f(x) = x² + 1.
Peta alirContoh: cari f atau g
- Kes 1: g(x) = x + 1, fg(x) = 2x + 5
- f(x + 1) = 2(x + 1) + 3, maka f(x) = 2x + 3
- Kes 2: f(x) = 2x − 1, fg(x) = 6x + 5
- 2g(x) − 1 = 6x + 5, maka g(x) = 3x + 3
SP 1.2.5Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan
Murid perlu menggunakan fungsi gubahan, termasuk f², f³, ..., fⁿ, untuk menyelesaikan masalah.
- IsiCorak fⁿ(x)Huraian
Kira f², f³ dan perhatikan corak untuk menulis fⁿ(x).
Contohf(x) = x + 3: f²(x) = x + 6, f³(x) = x + 9, maka fⁿ(x) = x + 3n.
- IsiMasalah harianHuraian
Setiap proses diwakili satu fungsi; urutan proses menentukan susunan gubahan.
ContohDiskaun 10% berulang f(x) = 0.9x pada harga RM100: f³(100) = 0.9³ × 100 = RM72.90.
JadualMasalah harian (gubahan)
| Fungsi | Maksud | Harga RM100 |
|---|---|---|
| f(x) = 0.9x | Diskaun 10% | 90 |
| g(x) = x + 5 | Caj penghantaran RM5 | 105 |
| gf(x) = 0.9x + 5 | Diskaun dahulu, kemudian caj | 95 |
| fg(x) = 0.9(x + 5) | Caj dahulu, kemudian diskaun | 94.50 |
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- GDFK
- G Dahulu, F Kemudian: dalam fg(x) = f(g(x)), fungsi g dilakukan dahulu
Kad imbas
- fg(x)
- f(g(x)) — g dahulu, kemudian f
- Adakah fg = gf?
- Tidak semestinya
- f²(x)
- ff(x)
- Cari g jika f dan fg diberi
- Gantikan g(x) ke dalam f, samakan dengan fg(x), selesaikan g(x)
Semak kefahaman
Terangkan secara ringkas maksud fg(x). (SP 1.2.1)
Lihat jawapan
fg(x) = f(g(x)), iaitu fungsi g dilakukan dahulu dan imejnya menjadi objek bagi f.
Diberi f(x) = x² dan g(x) = x + 1. Cari gf(x). (SP 1.2.2)
Lihat jawapan
gf(x) = g(x²) = x² + 1.
Diberi f(x) = 2x − 1 dan g(x) = x + 3. Hitung fg(4). (SP 1.2.3)
Lihat jawapan
g(4) = 7, f(7) = 2(7) − 1 = 13.
Diberi f(x) = 3x + 2 dan fg(x) = 6x + 11. Cari g(x). (SP 1.2.4)
Lihat jawapan
3g(x) + 2 = 6x + 11, 3g(x) = 6x + 9, g(x) = 2x + 3.
Diberi f(x) = x + 5. Tulis ungkapan bagi fⁿ(x) berdasarkan corak f²(x) dan f³(x). (SP 1.2.5)
Lihat jawapan
f²(x) = x + 10, f³(x) = x + 15, maka fⁿ(x) = x + 5n.
16 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Tahap Penguasaan (TP)
| TP | Tafsiran |
|---|---|
| TP1 | Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi. |
| TP2 | Mempamerkan kefahaman tentang fungsi. |
| TP3 | Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi untuk melaksanakan tugasan mudah. |
| TP4 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. |
| TP5 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. |
| TP6 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. |
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
- TP1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi.
Aktiviti: Individu, 8 minit: murid melukis gambar rajah anak panah gubahan fg bagi f(x) = x + 3 dan g(x) = 2x dan menyatakan bahawa g dilakukan dahulu.
Evidens PBD: Gambar rajah anak panah dan semakan guru.
SP disasar: 1.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - TP2
Mempamerkan kefahaman tentang fungsi.
Aktiviti: Berpasangan, 15 minit: murid menentukan fungsi gubahan fg(x) dan gf(x) bagi f(x) = x + 3 dan g(x) = 2x, lalu membandingkan dan menerangkan mengapa fg tidak sama dengan gf.
Evidens PBD: Penyelesaian fg dan gf serta penerangan.
SP disasar: 1.2.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - TP3
Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi untuk melaksanakan tugasan mudah.
Aktiviti: Individu, 15 minit: murid menentukan imej fg(2) dan objek apabila fg(x) = 11, dengan menulis setiap langkah dan menyemak jawapan.
Evidens PBD: Lembaran penyelesaian imej dan objek.
SP disasar: 1.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - TP4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Aktiviti: Kumpulan, 20 minit: murid menentukan f(x) apabila fg(x) = 6x + 1 dan g(x) = 2x, dan g(x) apabila fg(x) dan f(x) diberi, dengan langkah demi langkah.
Evidens PBD: Penyelesaian mencari fungsi berkaitan serta semakan guru.
SP disasar: 1.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - TP5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Aktiviti: Kumpulan, 25 minit: murid menyelesaikan masalah harian dengan fungsi gubahan, seperti harga selepas diskaun 10% kemudian cukai 6%, menilai urutan fungsi dan memutuskan sama ada urutan mempengaruhi harga.
Evidens PBD: Penyelesaian masalah dan penilaian urutan.
SP disasar: 1.2.5, 1.2.2 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati - TP6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Aktiviti: Kumpulan, 30 minit: murid mereka satu masalah baharu berasaskan gubahan tiga fungsi (misalnya tukaran mata wang dan pengiraan komisen) dan menulis penyelesaian lengkap untuk dicuba rakan.
Evidens PBD: Soalan reka, skema jawapan dan rubrik ketepatan.
SP disasar: 1.2.5, 1.2.3 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 30 unit Matematik Tambahan Tingkatan 4 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.