Langkau ke kandungan
Matematik Tambahan · Tingkatan 4 (SPM) · 7.0 GEOMETRI KOORDINAT

7.3 Luas Poligon

Anda akan menerbitkan dan menggunakan rumus luas segi tiga, sisi empat dan poligon apabila koordinat bucunya diketahui.

  • KSSM
  • 5 SP
  • 15 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 4

SP 7.3.1Menerbitkan rumus luas segi tiga apabila koordinat setiap bucu diketahui.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menerbitkan

Murid perlu menerbitkan rumus luas segi tiga daripada koordinat bucu melalui penerokaan.

  1. IsiKaedah segi empat tepat lingkungan
    Huraian

    Luas segi tiga = luas segi empat tepat lingkungan − luas segi tiga bersudut tegak di sekeliling.

    Contoh

    A(1, 2), B(5, 3), C(2, 6): lingkungan 4 × 4 = 16; tolak 2 + 4.5 + 2 = 8.5; luas 7.5 unit².

  2. IsiRumus umum
    Huraian

    Penerbitan umum memberi Luas = ½|(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₁y₃)|.

    Contoh

    Bagi A, B, C di atas: ½|37 − 22| = 7.5 unit², sama dengan kaedah lingkungan.

NotaRumus luas segi tiga

Bagi bucu A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), luas = ½|(x1y2 + x2y3 + x3y1) − (x2y1 + x3y2 + x1y3)|. Rumus diterbitkan dengan melukis segi empat tepat (atau trapezium) yang melingkungi segi tiga dan menolak luas segi tiga bersudut tegak di sekelilingnya. Jika luas = 0, ketiga-tiga titik adalah segaris.

SP 7.3.1SP 7.3.2

SP 7.3.2Menentukan luas segi tiga dengan menggunakan rumus.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid perlu mengira luas segi tiga dengan rumus (algoritma shoelace) atau kaedah kotak.

  1. IsiAlgoritma shoelace
    Huraian

    Susun bucu mengikut tertib, ulang bucu pertama, darab bersilang.

    Contoh

    A(1, 2), B(5, 3), C(2, 6): (3 + 30 + 4) − (10 + 6 + 6) = 15; luas 7.5 unit².

  2. IsiTitik segaris
    Huraian

    Jika luas = 0, tiga titik itu segaris.

    Contoh

    (1, 1), (2, 3), (3, 5): ½|16 − 16| = 0, segaris.

Peta alirContoh: luas segi tiga A(1, 2), B(5, 3), C(2, 6)

  1. Susun koordinat: 1 5 2 1 di atas, 2 3 6 2 di bawah
  2. Darab ke bawah kanan: 1(3) + 5(6) + 2(2) = 37
  3. Darab ke atas kanan: 5(2) + 2(3) + 1(6) = 22
  4. Luas = ½|37 − 22| = 7.5 unit²
SP 7.3.2

SP 7.3.3Menentukan luas sisi empat dengan menggunakan rumus.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid perlu mengira luas sisi empat dengan rumus, dan mengaitkannya dengan rumus luas segi tiga.

  1. IsiRumus sisi empat
    Huraian

    Luas = ½|(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) − (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)|, bucu mengikut tertib.

    Contoh

    P(0, 0), Q(6, 0), R(5, 4), S(1, 3): ½|39 − 4| = 17.5 unit².

  2. IsiKaitan dengan segi tiga
    Huraian

    Sisi empat boleh dibahagi kepada dua segi tiga.

    Contoh

    PQR = 12 dan PRS = 5.5, jumlah 17.5 unit².

Peta alirContoh: luas sisi empat (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3)

  1. Susun bucu mengikut tertib (lawan arah jam) dan ulang bucu pertama
  2. Jumlah pertama: 0(0) + 4(3) + 4(3) + 0(0) = 24
  3. Jumlah kedua: 4(0) + 4(0) + 0(3) + 0(3) = 0
  4. Luas = ½|24 − 0| = 12 unit²
SP 7.3.3

SP 7.3.4Membuat generalisasi tentang rumus luas poligon apabila koordinat setiap bucu diketahui dan seterusnya menggunakan rumus tersebut untuk menentukan luas poligon.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Membuat

Murid perlu membuat generalisasi rumus luas poligon n bucu dan menggunakannya.

  1. IsiGeneralisasi
    Huraian

    Luas = ½|∑(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| dengan bucu ke-(n + 1) = bucu pertama; n hasil darab dalam setiap jumlah.

    Contoh

    Segi tiga 3 hasil darab, sisi empat 4, pentagon 5.

  2. IsiPenggunaan
    Huraian

    Susun bucu ikut tertib arah jam atau lawan arah jam.

    Contoh

    Pentagon (0, 0), (4, 0), (5, 3), (2, 5), (−1, 3): ½|43 − 1| = 21 unit².

JadualGeneralisasi rumus luas poligon

PoligonBilangan bucuRumus
Segi tiga3½|x1y2 + x2y3 + x3y1 − x2y1 − x3y2 − x1y3|
Sisi empat4½|(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) − (x2y1 + x3y2 + x4y3 + x1y4)|
Poligon n sisin½|∑ xi y(i+1) − ∑ x(i+1) yi|, dengan bucu ke-(n+1) ialah bucu pertama
SP 7.3.4

SP 7.3.5Menyelesaikan masalah yang melibatkan luas poligon.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan

Murid perlu menyelesaikan masalah luas poligon, termasuk mencari koordinat anu dan menentukan titik segaris.

  1. IsiKoordinat anu
    Huraian

    Nilai mutlak memberi dua kemungkinan.

    Contoh

    A(0, 0), B(6, 0), C(2, k), luas 12: ½|6k| = 12, k = 4 atau −4.

  2. IsiTitik segaris
    Huraian

    Tiga titik yang terletak pada satu garis lurus tidak membentuk segi tiga, maka luasnya sifar. Tetapkan ungkapan luas sama dengan 0, kemudian selesaikan untuk mencari pemboleh ubah yang tidak diketahui.

    Contoh

    (1, 2), (3, 4), (5, k) segaris: ½|(4 + 3k + 10) − (6 + 20 + k)| = 0, 2k − 12 = 0, k = 6.

Poin utamaMasalah luas poligon

  • Bucu mesti disusun mengikut tertib (sama ada arah jam atau lawan arah jam)
  • Mencari nilai anu apabila luas diberi (dua kemungkinan kerana nilai mutlak)
  • Menentukan titik segaris apabila luas = 0
  • Konteks: luas tanah, taman atau kawasan pada peta
SP 7.3.5

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

SDTB
Susun bucu, Darab bersilang, Tolak dua jumlah, Bahagi dua (ambil nilai mutlak)

Kad imbas

Luas segi tiga melalui koordinat
½|x1y2 + x2y3 + x3y1 − x2y1 − x3y2 − x1y3|
Luas = 0 bermakna
Titik-titik segaris
Syarat susunan bucu sisi empat
Mengikut tertib arah jam atau lawan arah jam
Rumus poligon: bucu terakhir diikuti
Bucu pertama sekali lagi
Nilai anu daripada luas
Selesaikan ½|D| = luas, dua kes ±

Semak kefahaman

  1. Hitung luas segi tiga A(1, 1), B(5, 1) dan C(3, 4) menggunakan rumus koordinat. (SP 7.3.1)

    Lihat jawapan

    ½|(1 + 20 + 3) − (5 + 3 + 4)| = ½|24 − 12| = 6 unit².

  2. Hitung luas segi tiga A(0, 0), B(4, 0) dan C(4, 3). (SP 7.3.2)

    Lihat jawapan

    ½|(0 + 12 + 0) − (0 + 0 + 0)| = ½(12) = 6 unit².

  3. Hitung luas sisi empat A(0, 0), B(5, 0), C(5, 4) dan D(0, 4). (SP 7.3.3)

    Lihat jawapan

    ½|(0 + 20 + 20 + 0) − (0 + 0 + 0 + 0)| = ½(40) = 20 unit².

  4. Berapakah bilangan hasil darab dalam setiap jumlah rumus luas bagi heksagon? (SP 7.3.4)

    Lihat jawapan

    Heksagon mempunyai 6 bucu, maka 6 hasil darab dalam setiap jumlah.

  5. Titik (1, 1), (2, 3) dan (4, k) segaris. Cari nilai k. (SP 7.3.5)

    Lihat jawapan

    (3 + 2k + 4) − (2 + 12 + k) = 0, k − 7 = 0, k = 7.

15 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Tahap Penguasaan (TP)

TPTafsiran
TP1Mempamerkan pengetahuan asas tentang pembahagi tembereng garis.
TP2Mempamerkan kefahaman tentang pembahagi tembereng garis.
TP3Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah.
TP4Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
TP5Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
TP6Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
  1. TP1

    Mempamerkan pengetahuan asas tentang pembahagi tembereng garis.

    Aktiviti: Individu, 8 minit: murid memplot segi tiga A(1, 2), B(5, 3), C(2, 6) pada kertas graf dan menganggar luasnya dengan mengira petak.

    Evidens PBD: Graf segi tiga dan luas anggaran.

    SP disasar: 7.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. TP2

    Mempamerkan kefahaman tentang pembahagi tembereng garis.

    Aktiviti: Berpasangan, 15 minit: murid menerbitkan rumus luas segi tiga ½|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| menggunakan trapezium dan menerangkan setiap langkah.

    Evidens PBD: Terbitan rumus dan penerangan lisan.

    SP disasar: 7.3.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  3. TP3

    Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah.

    Aktiviti: Individu, 20 minit: murid menentukan luas segi tiga A(1, 2), B(5, 3), C(2, 6) (luas = 7.5 unit²) dan luas sisi empat (0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3) (luas = 12 unit²) menggunakan kaedah tali kasut.

    Evidens PBD: Lembaran luas dengan susunan koordinat dan jawapan betul.

    SP disasar: 7.3.2, 7.3.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  4. TP4

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

    Aktiviti: Kumpulan, 20 minit: murid membuat generalisasi rumus luas poligon n bucu menggunakan kaedah tali kasut dan menguji dengan segi lima yang diberi.

    Evidens PBD: Generalisasi dan luas segi lima yang betul.

    SP disasar: 7.3.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  5. TP5

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

    Aktiviti: Kumpulan, 25 minit: murid menyelesaikan masalah luas tanah berbentuk poligon daripada koordinat GPS dan menilai kesan susunan bucu (arah jam atau lawan) terhadap hasil, dengan justifikasi.

    Evidens PBD: Penyelesaian luas dan justifikasi susunan bucu.

    SP disasar: 7.3.5, 7.3.4 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati
  6. TP6

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

    Aktiviti: Kumpulan, 30 minit: murid mereka satu masalah baharu luas poligon (pelan taman) dengan koordinat dan skema jawapan lengkap, lalu bertukar dengan kumpulan lain.

    Evidens PBD: Soalan reka, skema dan rubrik kreativiti dan ketepatan.

    SP disasar: 7.3.5 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 30 unit Matematik Tambahan Tingkatan 4 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tambahan Tingkatan 4

Unit lain dalam 7.0 GEOMETRI KOORDINAT

  1. 7.1 Pembahagi Tembereng Garis
  2. 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang
  3. 7.3 Luas Poligon
  4. 7.4 Persamaan Lokus