Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Sampling Distributions and Estimation

10.1 Sampling distributions

Unit ini menunjukkan bahawa statistik sampel ialah pemboleh ubah rawak yang mempunyai taburan pensampelan (sampling distribution). Anda akan menyatakan taburan min sampel dan kadaran sampel serta menggunakan teorem had memusat (central limit theorem).

  • STPM
  • 3 SP
  • 12 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 10.1.1Recognise that a sample statistic based on data obtained by random sampling is a random variable and has a sampling distribution;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Recognise (Mengenal pasti)

Calon perlu mengenal pasti bahawa statistik sampel yang dikira daripada sampel rawak berubah dari satu sampel ke sampel lain, maka ia ialah pemboleh ubah rawak yang mempunyai taburan pensampelan (sampling distribution).

  1. IsiParameter (parameter) lawan statistik (statistic)
    Huraian

    Parameter seperti μ, σ² dan p ialah nilai tetap bagi populasi. Statistik seperti X̄, S² dan P̂ dikira daripada sampel rawak, jadi nilainya bergantung pada sampel yang terpilih.

    Contoh

    Min markah semua 2000 calon, μ = 62, ialah nilai tetap. Min 30 calon yang dipilih secara rawak mungkin 60.4 bagi satu sampel dan 63.1 bagi sampel lain.

  2. IsiTaburan pensampelan
    Huraian

    Senarai semua nilai yang mungkin bagi statistik itu bersama kebarangkaliannya. Inilah yang menjadikan statistik sampel satu pemboleh ubah rawak.

    Contoh

    Populasi {1, 2, 3}, sampel saiz 2 dengan pengembalian: 9 sampel yang sama mungkin. X̄ = 1, 1.5, 2, 2.5, 3 dengan kebarangkalian 1/9, 2/9, 3/9, 2/9, 1/9.

NotaStatistik sampel sebagai pemboleh ubah rawak

Parameter (parameter) seperti min populasi μ ialah nilai tetap. Statistik (statistic) seperti min sampel X̄ dikira daripada sampel rawak, jadi nilainya berubah dari satu sampel ke sampel lain. Oleh itu statistik sampel ialah pemboleh ubah rawak dan taburan kebarangkaliannya dipanggil taburan pensampelan (sampling distribution).

SP 10.1.1

Peta pokokTaburan pensampelan

Taburan pensampelan statistik
Min sampel X̄
  • Min = μ
  • Varians = σ²/n
  • Normal jika populasi normal atau n besar
Kadaran sampel P̂
  • Min = p
  • Varians = pq/n
  • Hampir normal jika np > 5 dan nq > 5
SP 10.1.1SP 10.1.2SP 10.1.3

SP 10.1.2State the probability distribution of the sample mean from a normal population with known variance and use the central limit theorem;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)

Calon perlu menyatakan taburan min sampel X̄ apabila populasi normal dengan varians diketahui, dan menggunakan teorem had memusat (central limit theorem) bagi sampel besar daripada sebarang populasi.

  1. IsiPopulasi normal, σ² diketahui
    Huraian

    Jika X ~ N(μ, σ²), maka bagi sebarang saiz sampel n, X̄ ~ N(μ, σ²/n). Ralat piawai (standard error) ialah σ/√n.

    Contoh

    X ~ N(50, 16) dan n = 4: X̄ ~ N(50, 16/4) = N(50, 4), ralat piawai = 2.

  2. IsiTeorem had memusat
    Huraian

    Bagi sebarang populasi dengan min μ dan varians σ², apabila n besar (lazimnya n ≥ 30), X̄ ≈ N(μ, σ²/n) walaupun populasi tidak normal.

    Contoh

    Masa layanan pelanggan mempunyai min 5 minit dan σ = 2 minit (taburan tidak normal). Bagi n = 64, X̄ ≈ N(5, 4/64) = N(5, 0.0625).

JadualRumus taburan pensampelan

StatistikSyaratTaburan
Min sampel X̄Populasi normal X ~ N(μ, σ²), σ² diketahui, sebarang nX̄ ~ N(μ, σ²/n)
Min sampel X̄Sebarang populasi, n besar (n ≥ 30) — teorem had memusatX̄ ≈ N(μ, σ²/n)
Kadaran sampel P̂ = X/nn besar (np > 5 dan nq > 5), q = 1 − pP̂ ≈ N(p, pq/n)
SP 10.1.2SP 10.1.3

Peta alirContoh: X ~ N(50, 16), sampel saiz 4. Cari P(X̄ > 53).

  1. Langkah 1: X̄ ~ N(50, 16/4) = N(50, 4), jadi sisihan piawai X̄ = 2.
  2. Langkah 2: Piawaikan: Z = (53 − 50)/2 = 1.5.
  3. Langkah 3: P(X̄ > 53) = P(Z > 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668.
SP 10.1.2

SP 10.1.3State the probability distribution of the sample proportion for a large sample size.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)

Calon perlu menyatakan bahawa kadaran sampel P̂ = X/n bagi saiz sampel besar bertaburan hampir normal dengan min p dan varians pq/n, serta menyemak syarat sampel besar.

  1. IsiTaburan P̂
    Huraian

    Bagi n besar, P̂ ≈ N(p, pq/n) dengan q = 1 − p. Min P̂ ialah p dan ralat piawainya √(pq/n).

    Contoh

    p = 0.4, n = 100: P̂ ≈ N(0.4, 0.4 × 0.6/100) = N(0.4, 0.0024).

  2. IsiSyarat sampel besar
    Huraian

    Penghampiran normal munasabah apabila np > 5 dan nq > 5. Jika p sangat kecil, n mesti lebih besar.

    Contoh

    p = 0.02: n = 200 memberi np = 4 (tidak memadai), n = 400 memberi np = 8 dan nq = 392 (memadai).

Peta alirContoh: p = 0.4, n = 100. Cari P(P̂ < 0.35).

  1. Langkah 1: Semak np = 40 > 5, nq = 60 > 5, jadi P̂ ≈ N(0.4, 0.4×0.6/100) = N(0.4, 0.0024).
  2. Langkah 2: Sisihan piawai = √0.0024 = 0.04899.
  3. Langkah 3: Z = (0.35 − 0.4)/0.04899 = −1.021, P(Z < −1.021) ≈ 0.154.
SP 10.1.3

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

MVN
Min μ, Varians σ²/n, Normal — sifat taburan X̄

Kad imbas

Statistik sampel ialah ...
Pemboleh ubah rawak yang mempunyai taburan pensampelan
Taburan X̄ bagi populasi N(μ, σ²)
X̄ ~ N(μ, σ²/n)
Teorem had memusat
Bagi n besar (n ≥ 30), X̄ hampir bertaburan normal walau apa pun taburan populasi
Taburan P̂ bagi n besar
P̂ ≈ N(p, pq/n)
Ralat piawai min
σ/√n

Semak kefahaman

  1. Bezakan satu parameter dan satu statistik. (SP 10.1.1)

    Lihat jawapan

    Parameter ialah nilai tetap populasi (cth μ), manakala statistik dikira daripada sampel (cth x̄) dan berubah mengikut sampel.

  2. X ~ N(100, 64) dan sampel saiz 16 diambil. Nyatakan taburan X̄ dan ralat piawainya. (SP 10.1.2)

    Lihat jawapan

    X̄ ~ N(100, 64/16) = N(100, 4); ralat piawai = 8/√16 = 2.

  3. p = 0.3 dan n = 200. Nyatakan taburan hampiran bagi P̂. (SP 10.1.3)

    Lihat jawapan

    P̂ ≈ N(0.3, 0.3 × 0.7/200) = N(0.3, 0.00105).

12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid mengambil lima sampel kecil daripada kumpulan kad nombor, mengira min setiap sampel dan menjelaskan bahawa statistik sampel ialah pemboleh ubah rawak.

    Bukti hasil kerja: Jadual min sampel dan penjelasan lisan.

    SP disasar: 10.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mengira taburan min sampel dan proporsi sampel bagi populasi tertentu serta menggunakan teorem had pusat (central limit theorem) untuk mengira kebarangkalian.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja taburan persampelan dan kebarangkalian.

    SP disasar: 10.1.2, 10.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mengumpul min 30 sampel secara simulasi dan menganalisis bagaimana saiz n mempengaruhi sebaran min sampel, serta membandingkan dengan teori.

    Bukti hasil kerja: Plot simulasi dan analisis kesan saiz sampel.

    SP disasar: 10.1.1, 10.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menilai sama ada teorem had pusat boleh digunakan bagi tiga situasi populasi bukan normal dengan saiz sampel berbeza dan mewajarkan keputusan.

    Bukti hasil kerja: Keputusan dengan justifikasi saiz sampel.

    SP disasar: 10.1.2, 10.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Sampling Distributions and Estimation

  1. 10.1 Sampling distributions
  2. 10.2 Estimation