2.2 Series
Unit ini meliputi kembangan binomial (binomial expansion) bagi (a + b)ⁿ dengan n integer positif dan (1 + x)ⁿ dengan n nisbah, serta pengesahan rumus hasil tambah siri menggunakan aruhan matematik.
SP 2.2.1Find and use the binomial expansion of (a + b) n, where n ∈ +;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find
Calon perlu mencari dan menggunakan kembangan binomial (a + b)ⁿ dengan n integer positif, termasuk sebutan am dan pekali tertentu.
- IsiKembangan dan sebutan amHuraian
Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ; terdapat n + 1 sebutan.
Contoh(2 + x)⁴ = 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.
- IsiMencari pekali tertentuHuraian
Tulis sebutan am, samakan kuasa x dengan kuasa yang dikehendaki, selesaikan r.
ContohPekali x³ dalam (1 − 3x)⁶: ⁶C₃(−3)³ = 20(−27) = −540.
NotaKembangan binomial (a + b)ⁿ, n integer positif
(a + b)ⁿ = ∑ (dari r = 0 hingga n) ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ = aⁿ + ⁿC₁aⁿ⁻¹b + ⁿC₂aⁿ⁻²b² + ... + bⁿ. Sebutan am (r + 1): Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. Pekali boleh didapati daripada segi tiga Pascal.
Peta buih bergandaDua bentuk kembangan binomial
SP 2.2.2Find and use the binomial expansion of (1 + x) n, where n ∈ and |x| < 1;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find
Calon perlu mencari dan menggunakan kembangan (1 + x)ⁿ dengan n nisbah serta syarat |x| < 1, termasuk untuk anggaran.
- IsiKembangan siriHuraian
(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n − 1)x²/2! + ...; sah bagi |x| < 1. Bagi (a + bx)ⁿ, faktorkan aⁿ dahulu.
Contoh(1 − x)⁻² = 1 + 2x + 3x² + ..., |x| < 1.
- IsiAnggaran berangkaHuraian
Pilih x kecil supaya sebutan awal sudah memberi anggaran tepat.
Contoh(1.01)⁻² ≈ 1 − 2(0.01) + 3(0.0001) = 0.9803 (nilai sebenar 0.98030).
NotaKembangan binomial (1 + x)ⁿ, n nisbah
(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n − 1)x²/2! + n(n − 1)(n − 2)x³/3! + ..., sah bagi |x| < 1 apabila n bukan integer positif (siri tak terhingga). Bagi (a + bx)ⁿ, tulis aⁿ(1 + bx/a)ⁿ, sah bagi |bx/a| < 1.
Peta alirContoh: kembangkan √(1 + x) hingga sebutan x² dan anggarkan √1.02
- (1 + x)^(1/2) = 1 + (1/2)x + (1/2)(−1/2)x²/2! + ...
- = 1 + x/2 − x²/8 + ..., |x| < 1
- Ambil x = 0.02: 1 + 0.01 − 0.00005
- √1.02 ≈ 1.00995
SP 2.2.3Use mathematical induction to verify a formula for the sum of the first n terms of a series.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use
Calon perlu menggunakan aruhan matematik untuk mengesahkan rumus hasil tambah n sebutan pertama suatu siri.
- IsiStruktur buktiHuraian
Asas n = 1; andaikan Sₖ benar; tunjukkan Sₖ₊₁ = Sₖ + uₖ₊₁ memberi rumus bagi n = k + 1.
ContohBuktikan ∑ (2r − 1) = n²: asas 1 = 1²; Sₖ₊₁ = k² + (2k + 1) = (k + 1)².
- IsiSiri dengan pecahanHuraian
Gabungkan Sₖ dan sebutan ke-(k + 1) dengan penyebut sepunya.
Contoh∑ 1/[r(r + 1)] = n/(n + 1): k/(k + 1) + 1/[(k + 1)(k + 2)] = (k² + 2k + 1)/[(k + 1)(k + 2)] = (k + 1)/(k + 2).
Peta alirContoh aruhan: buktikan 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2
- Langkah asas: n = 1, sisi kiri = 1, sisi kanan = 1(2)/2 = 1
- Andaikan Sₖ = k(k + 1)/2
- Sₖ₊₁ = Sₖ + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1)
- = (k + 1)(k + 2)/2 = (k + 1)[(k + 1) + 1]/2
- Benar bagi n = k + 1, maka benar bagi semua integer positif n
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- BAL
- Aruhan siri: Benarkan n = 1, Andaikan Sₖ, Lanjutkan Sₖ₊₁ = Sₖ + sebutan ke-(k + 1).
Kad imbas
- Sebutan am (a + b)ⁿ
- Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
- Bilangan sebutan (a + b)ⁿ
- n + 1
- (1 + x)ⁿ hingga x²
- 1 + nx + n(n − 1)x²/2
- Syarat kembangan (1 + x)ⁿ, n bukan integer positif
- |x| < 1
- Langkah aruhan bagi siri
- Sₖ₊₁ = Sₖ + uₖ₊₁
Semak kefahaman
Cari pekali x² dalam kembangan (1 + 2x)⁵. (SP 2.2.1)
Lihat jawapan
⁵C₂(2)² = 10 × 4 = 40.
Kembangkan (1 − 2x)⁻¹ hingga sebutan x² dan nyatakan julat nilai x yang sah. (SP 2.2.2)
Lihat jawapan
(1 − 2x)⁻¹ = 1 + 2x + 4x² + ..., sah bagi |2x| < 1, iaitu −1/2 < x < 1/2.
Tuliskan langkah asas bagi membuktikan ∑ r³ = n²(n + 1)²/4, r = 1 hingga n. (SP 2.2.3)
Lihat jawapan
Bagi n = 1: sisi kiri 1³ = 1, sisi kanan 1²(2)²/4 = 4/4 = 1, maka benar bagi n = 1.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid melengkapkan segi tiga Pascal hingga baris ke-6 dan menyatakan rumus kembangan binomial (binomial expansion) dengan sebutan ke-(r + 1), kemudian menguji ingatan melalui kuiz lisan berpasangan.
Bukti hasil kerja: Segi tiga Pascal lengkap dan jawapan kuiz lisan.
SP disasar: 2.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengembangkan (2 + x)⁵ dan (1 − 2x)⁻² hingga sebutan x², dengan menyatakan syarat |x| yang menjadikan kembangan sah.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kembangan dengan syarat kesahan dinyatakan.
SP disasar: 2.2.1, 2.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menggunakan kembangan binomial untuk menganggar (1.02)^10 dan (0.98)^−3, membandingkan dengan kalkulator, dan menganalisis bagaimana saiz x mempengaruhi ralat.
Bukti hasil kerja: Jadual anggaran lawan nilai tepat dan ulasan ralat.
SP disasar: 2.2.1, 2.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid membukti dengan aruhan bahawa ∑ r (r = 1 hingga n) = n(n + 1)/2 dan satu formula jumlah lain, kemudian menilai kekuatan bukti rakan dan membetulkan langkah yang tidak lengkap.
Bukti hasil kerja: Bukti aruhan bertulis dan maklum balas rakan sebaya.
SP disasar: 2.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.