Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Probability

7.2 Conditional probability

Unit ini meliputi kebarangkalian bersyarat (conditional probability), petua pendaraban, peristiwa tak bersandar (independent), petua kebarangkalian jumlah (total probability rule) dan teorem Bayes (Bayes' theorem).

  • STPM
  • 4 SP
  • 12 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 7.2.1Calculate conditional probabilities, and use the multiplication rule of probability, P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B);

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate

Calon perlu mengira kebarangkalian bersyarat dan menggunakan petua pendaraban P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B).

  1. IsiKebarangkalian bersyarat
    Huraian

    P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B): ruang sampel dikecilkan kepada B.

    Contoh

    40% pekerja wanita; 10% pekerja wanita dan pengurus: P(pengurus | wanita) = 0.10/0.40 = 0.25.

  2. IsiPetua pendaraban
    Huraian

    Darab sepanjang cabang gambar rajah pokok.

    Contoh

    Dua kotak dipilih tanpa pemulangan daripada 10 (3 rosak): P(kedua-dua rosak) = 3/10 × 2/9 = 1/15.

JadualRumus kebarangkalian bersyarat

KonsepRumus
Kebarangkalian bersyaratP(A | B) = P(A ∩ B)/P(B), P(B) ≠ 0
Petua pendarabanP(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = P(B) × P(A | B)
Tak bersandarP(A ∩ B) = P(A) × P(B), atau P(A | B) = P(A)
SP 7.2.1SP 7.2.2

SP 7.2.2Determine whether two events are independent;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Determine

Calon perlu menentukan sama ada dua peristiwa tak bersandar (independent) menggunakan P(A ∩ B) = P(A)P(B) atau P(A | B) = P(A).

  1. IsiUjian hasil darab
    Huraian

    Bandingkan P(A ∩ B) dengan P(A) × P(B).

    Contoh

    P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.3: 0.6 × 0.5 = 0.3, maka tak bersandar.

  2. IsiUjian bersyarat
    Huraian

    Jika P(A | B) ≠ P(A), maka bersandar.

    Contoh

    P(lulus) = 0.7, P(lulus | hadir kelas tambahan) = 0.9: kehadiran mempengaruhi kelulusan, maka bersandar.

Peta buih bergandaSaling eksklusif berbanding tak bersandar

Saling eksklusifP(A ∩ B) = 0Satu berlaku menghalang yang lain
PersamaanHubungan antara dua peristiwaDiuji menggunakan P(A ∩ B)
Tak bersandarP(A ∩ B) = P(A)P(B)Satu berlaku tidak mempengaruhi kebarangkalian yang lain
SP 7.2.2

SP 7.2.3Use the total probability rule for an event splits over two or three mutually exclusive events;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use

Calon perlu menggunakan petua kebarangkalian jumlah apabila suatu peristiwa terbahagi kepada dua atau tiga peristiwa saling eksklusif.

  1. IsiDua peristiwa
    Huraian

    P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | B′)P(B′).

    Contoh

    30% pelanggan guna kad; 5% transaksi kad ditolak, 1% tunai bermasalah: P(masalah) = 0.3(0.05) + 0.7(0.01) = 0.022.

  2. IsiTiga peristiwa
    Huraian

    P(A) = ∑ P(A | Bᵢ)P(Bᵢ), i = 1, 2, 3; gambar rajah pokok tiga cabang.

    Contoh

    Pembekal X, Y, Z membekal 40%, 35%, 25% dengan kadar lewat 5%, 10%, 2%: P(lewat) = 0.02 + 0.035 + 0.005 = 0.06.

NotaPetua kebarangkalian jumlah dan teorem Bayes

Jika B₁, B₂, B₃ saling eksklusif dan meliputi seluruh ruang sampel: P(A) = P(A | B₁)P(B₁) + P(A | B₂)P(B₂) + P(A | B₃)P(B₃). Teorem Bayes: P(Bᵢ | A) = P(A | Bᵢ)P(Bᵢ)/P(A).

SP 7.2.3SP 7.2.4

Peta alirContoh: tiga mesin dan barang rosak

  1. Mesin M₁, M₂, M₃ menghasilkan 50%, 30%, 20% barang; kadar rosak 2%, 3%, 4%
  2. Gambar rajah pokok: P(D) = 0.5(0.02) + 0.3(0.03) + 0.2(0.04)
  3. P(D) = 0.010 + 0.009 + 0.008 = 0.027
  4. Bayes: P(M₁ | D) = 0.010/0.027 = 10/27 ≈ 0.370
SP 7.2.3SP 7.2.4

SP 7.2.4Use the formula for Bayes’ theorem.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use

Calon perlu menggunakan rumus teorem Bayes untuk mencari kebarangkalian punca apabila kesudahan diketahui.

  1. IsiRumus Bayes
    Huraian

    P(Bᵢ | A) = P(A | Bᵢ)P(Bᵢ)/P(A), dengan P(A) daripada petua kebarangkalian jumlah.

    Contoh

    Contoh pembekal: P(Y | lewat) = 0.035/0.06 = 7/12 ≈ 0.583.

  2. IsiMentafsir hasil
    Huraian

    Kebarangkalian punca dikemas kini selepas bukti; punca dengan bahagian kecil boleh menjadi utama jika kadarnya tinggi.

    Contoh

    Y hanya membekal 35% tetapi menyumbang 58% penghantaran lewat, maka Y perlu dipantau.

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

SPB
Langkah soalan Bayes: Susun gambar rajah pokok, Petua jumlah untuk P(A), Bahagi cabang yang dikehendaki dengan P(A).

Kad imbas

P(A | B)
P(A ∩ B)/P(B)
Syarat tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Petua kebarangkalian jumlah
P(A) = ∑ P(A | Bᵢ)P(Bᵢ)
Teorem Bayes
P(Bᵢ | A) = P(A | Bᵢ)P(Bᵢ)/P(A)

Semak kefahaman

  1. P(B) = 0.5 dan P(A ∩ B) = 0.2. Hitung P(A | B). (SP 7.2.1)

    Lihat jawapan

    P(A | B) = 0.2/0.5 = 0.4.

  2. P(A) = 0.4, P(B) = 0.3 dan P(A ∩ B) = 0.15. Tentukan sama ada A dan B tak bersandar. (SP 7.2.2)

    Lihat jawapan

    P(A) × P(B) = 0.12, tidak sama dengan P(A ∩ B) = 0.15, maka A dan B bersandar (dependent).

  3. Kilang X dan Y membekal 70% dan 30% barang dengan kadar rosak 2% dan 5%. Hitung P(rosak). (SP 7.2.3)

    Lihat jawapan

    P(rosak) = 0.7(0.02) + 0.3(0.05) = 0.014 + 0.015 = 0.029.

  4. P(A) = 0.05, P(A | B) = 0.08 dan P(B) = 0.25. Hitung P(B | A). (SP 7.2.4)

    Lihat jawapan

    P(B | A) = P(A | B)P(B)/P(A) = 0.08(0.25)/0.05 = 0.02/0.05 = 0.4.

12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan beza P(A | B) dan P(A ∩ B) menggunakan gambar rajah pokok kebarangkalian dengan dua peringkat dan menyebut peraturan darab.

    Bukti hasil kerja: Gambar rajah pokok dan penerangan lisan.

    SP disasar: 7.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mengira kebarangkalian bersyarat dan menggunakan peraturan darab bagi pengambilan bola tanpa pemulangan, kemudian menguji kebebasan dua peristiwa dengan P(A ∩ B) = P(A)P(B).

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan ujian kebebasan.

    SP disasar: 7.2.1, 7.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menyelesaikan masalah ujian saringan kesihatan menggunakan peraturan kebarangkalian penuh (total probability rule) dan teorem Bayes (Bayes’ theorem), dan menganalisis mengapa keputusan positif sebenar rendah apabila penyakit jarang.

    Bukti hasil kerja: Jadual kebarangkalian dan analisis kumpulan.

    SP disasar: 7.2.3, 7.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menilai penjelasan dua rakan tentang masalah kebarangkalian bersyarat (satu tersilap kerana menganggap bebas) dan menulis pembetulan dengan alasan.

    Bukti hasil kerja: Ulasan bertulis dan penyelesaian dibetulkan.

    SP disasar: 7.2.2, 7.2.3, 7.2.4 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Probability

  1. 7.1 Probability of a single event and a combined event
  2. 7.2 Conditional probability