Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Maclaurin Series

11.1 Representations of functions as Maclaurin series

Anda akan mewakilkan fungsi sebagai siri Maclaurin (Maclaurin series) melalui pembezaan berulang, siri piawai, pendaraban siri serta pembezaan dan pengamiran siri kuasa.

  • STPM
  • 4 SP
  • 14 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 11.1.1Use repeated differentiation to obtain the first few terms of the Maclaurin series of a function;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu membezakan fungsi berulang kali (secara tak tersirat atau tersirat), menilai setiap terbitan pada x = 0, dan menggantikannya ke dalam rumus Maclaurin untuk beberapa sebutan pertama.

  1. IsiTerbitan tak tersirat (explicit)
    Huraian

    Cari f(0), f'(0), f''(0), f'''(0), kemudian f(x) ≈ f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3!.

    Contoh

    f(x) = e^(3x): f(0) = 1, f'(0) = 3, f''(0) = 9, maka e^(3x) ≈ 1 + 3x + 9x²/2.

  2. IsiTerbitan tersirat (implicit)
    Huraian

    Jika y ditakrif melalui suatu persamaan, bezakan persamaan itu berulang kali dan gantikan nilai pada x = 0.

    Contoh

    y = tan x memberi dy/dx = 1 + y²; d²y/dx² = 2y dy/dx; d³y/dx³ = 2(dy/dx)² + 2y d²y/dx². Pada x = 0 nilainya 0, 1, 0, 2, maka tan x ≈ x + x³/3.

NotaRumus siri Maclaurin

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ... + f⁽ʳ⁾(0)xʳ/r! + ... Cari terbitan berulang, nilaikan pada x = 0, dan gantikan ke dalam rumus.

SP 11.1.1

Peta alirContoh: Siri Maclaurin tan x hingga sebutan x³

  1. f(x) = tan x, f(0) = 0
  2. f'(x) = sec² x, f'(0) = 1
  3. f''(x) = 2sec² x tan x, f''(0) = 0
  4. f'''(0) = 2
  5. tan x ≈ x + 2x³/3! = x + x³/3
SP 11.1.1

Peta pokokCara mendapat siri

Siri Maclaurin
Pembezaan berulang
  • Cari f⁽ʳ⁾(0)
  • Guna rumus am
Siri piawai
  • Gantikan x dengan 2x, −x, x²
  • Darab dua siri
Siri kuasa
  • Bezakan sebutan demi sebutan
  • Kamirkan dan tentukan c
SP 11.1.1SP 11.1.3SP 11.1.4

SP 11.1.2Identify the standard Maclaurin series for (1 + x)^n, where n ∈ ℚ, e^x, ln(1 + x), sin x and cos x;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Identify (Mengenal pasti)

Calon perlu mengenal siri Maclaurin piawai bagi (1 + x)ⁿ dengan n ∈ ℚ, eˣ, ln(1 + x), sin x dan cos x serta julat x yang sah.

  1. IsiSiri eˣ, sin x, cos x
    Huraian

    eˣ = 1 + x + x²/2! + ...; sin x = x − x³/3! + ... (kuasa ganjil); cos x = 1 − x²/2! + ... (kuasa genap); sah bagi semua x.

    Contoh

    Dengan x = 0.1: e^0.1 ≈ 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105.

  2. IsiSiri ln(1 + x) dan (1 + x)ⁿ
    Huraian

    ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ... (−1 < x ≤ 1); (1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n − 1)x²/2! + ... (|x| < 1) bagi n nisbah.

    Contoh

    √(1 + x) = (1 + x)^(1/2) ≈ 1 + x/2 − x²/8.

JadualSiri Maclaurin piawai

FungsiSiriJulat sah
eˣ1 + x + x²/2! + x³/3! + ...semua x
ln(1 + x)x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + ...−1 < x ≤ 1
sin xx − x³/3! + x⁵/5! − ...semua x
cos x1 − x²/2! + x⁴/4! − ...semua x
(1 + x)ⁿ, n ∈ ℚ1 + nx + n(n−1)x²/2! + n(n−1)(n−2)x³/3! + ...−1 < x < 1
SP 11.1.2

SP 11.1.3Use the standard Maclaurin series and the multiplication of Maclaurin series to find the series expansion of a function;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu menggunakan siri piawai (dengan gantian seperti 2x, −x, x²) dan pendaraban dua siri untuk mendapat kembangan fungsi lain hingga kuasa yang diminta.

  1. IsiGantian dalam siri piawai
    Huraian

    Gantikan x dalam siri piawai dengan ungkapan baharu dan permudahkan setiap sebutan; julat sah turut berubah.

    Contoh

    ln(1 + 2x) = 2x − 2x² + 8x³/3 − ..., sah bagi −1/2 < x ≤ 1/2.

  2. IsiPendaraban siri
    Huraian

    Darab dua siri dan simpan hanya sebutan hingga kuasa yang diminta.

    Contoh

    eˣ cos x = (1 + x + x²/2 + x³/6)(1 − x²/2) ≈ 1 + x − x³/3 (pekali x² ialah 0).

Peta alirContoh: eˣ sin x hingga sebutan x³

  1. eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + ...
  2. sin x = x − x³/6 + ...
  3. Darab, simpan sebutan hingga x³
  4. = x + x² + x³/2 − x³/6
  5. = x + x² + x³/3
SP 11.1.3

SP 11.1.4Use differentiation or integration of a power series to find the first few terms of the series expansion of a function.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu membezakan atau mengamirkan siri kuasa sebutan demi sebutan untuk mendapat beberapa sebutan pertama kembangan fungsi lain.

  1. IsiPengamiran siri
    Huraian

    Kamirkan setiap sebutan siri yang diketahui dan tentukan pemalar dengan nilai fungsi pada x = 0.

    Contoh

    ∫ 1/(1 + x²) dx memberi tan⁻¹ x = x − x³/3 + x⁵/5 − ..., dengan c = 0 kerana tan⁻¹ 0 = 0.

  2. IsiPembezaan siri
    Huraian

    Bezakan setiap sebutan siri yang diketahui untuk mendapat siri bagi terbitan fungsi itu.

    Contoh

    Bezakan 1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + ... memberi 1/(1 − x)² = 1 + 2x + 3x² + ...

Peta alirContoh: tan⁻¹ x melalui pengamiran

  1. 1/(1 + x²) = 1 − x² + x⁴ − ...
  2. tan⁻¹ x = ∫ 1/(1 + x²) dx
  3. = x − x³/3 + x⁵/5 − ... + c
  4. x = 0 memberi c = 0
  5. tan⁻¹ x = x − x³/3 + x⁵/5 − ...
SP 11.1.4

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

ELSKB
Lima siri piawai: Eksponen eˣ, Ln(1 + x), Sin x, Kos x, Binomial (1 + x)ⁿ.

Kad imbas

Pekali xʳ dalam siri Maclaurin
f⁽ʳ⁾(0)/r!
Siri ln(1 + x)
x − x²/2 + x³/3 − ..., −1 < x ≤ 1
Siri cos x
1 − x²/2! + x⁴/4! − ...
eˣ sin x hingga x³
x + x² + x³/3
Bezakan siri sin x memberi
Siri cos x

Semak kefahaman

  1. Gunakan pembezaan berulang untuk mencari tiga sebutan pertama siri Maclaurin bagi e^(2x). (SP 11.1.1)

    Lihat jawapan

    f(0) = 1, f′(0) = 2, f″(0) = 4, maka e^(2x) ≈ 1 + 2x + 4x²/2! = 1 + 2x + 2x².

  2. Tuliskan tiga sebutan pertama yang bukan sifar bagi siri Maclaurin sin x. (SP 11.1.2)

    Lihat jawapan

    sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ... = x − x³/6 + x⁵/120 − ...

  3. Kembangkan e^(2x) hingga sebutan x³ menggunakan siri piawai eˣ. (SP 11.1.3)

    Lihat jawapan

    Gantikan x dengan 2x: 1 + 2x + (2x)²/2! + (2x)³/3! = 1 + 2x + 2x² + 4x³/3.

  4. Bezakan siri sin x = x − x³/6 + x⁵/120 untuk mendapat siri bagi cos x. (SP 11.1.4)

    Lihat jawapan

    d/dx: 1 − 3x²/6 + 5x⁴/120 = 1 − x²/2 + x⁴/24.

14 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Mengingat

    Aktiviti: Murid menulis siri Maclaurin piawai bagi (1 + x)^n, e^x, ln(1 + x), sin x dan cos x serta selang kesahan pada kad ringkas, lalu mengujinya secara lisan.

    Bukti hasil kerja: Kad siri Maclaurin dan kuiz lisan.

    SP disasar: 11.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menggunakan pembezaan berulang untuk mendapatkan beberapa sebutan siri Maclaurin (Maclaurin series) bagi e^(2x) dan cos x, serta menggandakan dua siri piawai.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja siri dan darab siri.

    SP disasar: 11.1.1, 11.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan graf fungsi dengan polinomial Maclaurin bertertib 1, 3 dan 5 dalam perisian graf dan menganalisis bagaimana ketepatan berubah dengan x.

    Bukti hasil kerja: Tangkapan skrin bandingan dan ulasan ketepatan.

    SP disasar: 11.1.1, 11.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Mencipta

    Aktiviti: Murid mengembangkan fungsi baharu seperti e^x sin x atau 1/(1 + x²) menggunakan kamiran atau pembezaan siri piawai, kemudian menyemak keputusan dengan perisian.

    Bukti hasil kerja: Siri baharu terbitan dan semakan perisian.

    SP disasar: 11.1.3, 11.1.4 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Maclaurin Series

  1. 11.1 Representations of functions as Maclaurin series
  2. 11.2 Applications of Maclaurin series