12.2 Numerical integration
Anda akan menganggar kamiran tentu menggunakan petua trapezium (trapezium rule) dan petua Simpson (Simpson's rule), serta menilai sama ada anggaran terlebih atau terkurang.
SP 12.2.1Use the trapezium rule to approximate a definite integral;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)
Calon perlu menggunakan petua trapezium (h/2)[y₀ + yₙ + 2(y₁ + ... + yₙ₋₁)] dengan h = (b − a)/n untuk menganggar kamiran tentu.
- IsiBina jadual ordinatHuraian
Kira h, senaraikan x₀, x₁, ..., xₙ dan nilai y yang sepadan.
Contoh∫ dari 0 hingga 1 bagi x² dx, n = 2: h = 0.5, y = 0, 0.25, 1.
- IsiGantikan dalam rumusHuraian
Ordinat hujung diambil sekali, ordinat tengah didarab 2, kemudian darab dengan h/2.
Contoh0.25[0 + 1 + 2(0.25)] = 0.375.
JadualRumus pengamiran berangka
| Petua | Rumus | Syarat |
|---|---|---|
| Trapezium | (h/2)[y₀ + yₙ + 2(y₁ + y₂ + ... + yₙ₋₁)] | h = (b − a)/n |
| Simpson | (h/3)[y₀ + yₙ + 4(y₁ + y₃ + ...) + 2(y₂ + y₄ + ...)] | n mesti genap |
Peta alirContoh: Petua trapezium ∫ dari 1 hingga 3 bagi 1/x dx, 2 jalur
- h = 1; y₀ = 1, y₁ = 0.5, y₂ = 0.3333
- (1/2)[1 + 0.3333 + 2(0.5)]
- = (1/2)(2.3333)
- ≈ 1.1667 (nilai sebenar ln 3 ≈ 1.0986)
SP 12.2.2Determine whether the trapezium rule gives an over-estimate or under-estimate based on a sketched graph and state the effects of increasing number of sub-intervals;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Determine (Menentukan)
Calon perlu menentukan daripada graf yang dilakar sama ada petua trapezium memberi anggaran terlebih atau terkurang, dan menyatakan kesan menambah bilangan selang (tanpa batas ralat).
- IsiBentuk lengkungHuraian
Lengkung cekung ke atas: trapezium di atas lengkung, anggaran terlebih (over-estimate). Cekung ke bawah: anggaran terkurang (under-estimate).
Contohy = eˣ cekung ke atas, maka petua trapezium bagi ∫ eˣ dx terlebih; y = √x cekung ke bawah, maka terkurang.
- IsiKesan menambah selangHuraian
Selang lebih banyak menjadikan trapezium mengikut lengkung lebih rapat, maka anggaran menghampiri nilai sebenar.
Contoh∫ dari 0 hingga 1 bagi x² dx: n = 2 memberi 0.375, n = 4 memberi 0.34375; nilai sebenar 1/3.
Peta buih bergandaAnggaran terlebih atau terkurang (petua trapezium)
SP 12.2.3Use Simpson’s rule to approximate a definite integral.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)
Calon perlu menggunakan petua Simpson (h/3)[y₀ + yₙ + 4(ordinat ganjil) + 2(ordinat genap tengah)] dengan bilangan selang genap.
- IsiSyarat dan pemberatHuraian
n mesti genap; corak pemberat 1, 4, 2, 4, ..., 2, 4, 1.
Contoh∫ dari 1 hingga 3 bagi 1/x dx, n = 2: (1/3)[1 + 1/3 + 4(0.5)] ≈ 1.1111.
- IsiContoh dengan 4 selangHuraian
Bina 5 ordinat, darab dengan pemberat yang betul, jumlahkan dan darab h/3.
Contoh∫ dari 0 hingga 2 bagi x³ dx, h = 0.5: y = 0, 0.125, 1, 3.375, 8; (0.5/3)[0 + 8 + 4(3.5) + 2(1)] = 4 (tepat).
Peta alirContoh: Petua Simpson ∫ dari 1 hingga 3 bagi 1/x dx, 2 jalur
- h = 1; y₀ = 1, y₁ = 0.5, y₂ = 0.3333
- (1/3)[1 + 0.3333 + 4(0.5)]
- = (1/3)(3.3333)
- ≈ 1.1111
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- HUJUNG-DUA-TENGAH
- Trapezium: hujung sekali, tengah didarab dua. Simpson: hujung sekali, ganjil empat, genap dua (1-4-2-4-1).
Kad imbas
- Petua trapezium
- (h/2)[y₀ + yₙ + 2(jumlah ordinat tengah)]
- Petua Simpson: syarat n
- Bilangan jalur genap
- Lengkung cekung ke atas: trapezium memberi
- Anggaran terlebih
- Kesan menambah bilangan jalur
- Anggaran lebih tepat
Semak kefahaman
Gunakan petua trapezium dengan 2 jalur untuk menganggar ∫ dari 0 hingga 2 bagi x² dx. (SP 12.2.1)
Lihat jawapan
h = 1, y = 0, 1, 4: (1/2)[0 + 4 + 2(1)] = 3.
Graf y = ln x cekung ke bawah pada [1, 3]. Adakah petua trapezium memberi anggaran terlebih atau terkurang? (SP 12.2.2)
Lihat jawapan
Anggaran terkurang (under-estimate) kerana trapezium berada di bawah lengkung.
Gunakan petua Simpson dengan 2 selang untuk menganggar ∫ dari 0 hingga 2 bagi x² dx. (SP 12.2.3)
Lihat jawapan
h = 1, y = 0, 1, 4: (1/3)[0 + 4 + 4(1)] = 8/3 ≈ 2.6667, iaitu nilai tepat.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menulis rumus petua trapezium (trapezium rule) dan petua Simpson (Simpson’s rule) serta menyatakan syarat bilangan sub-selang bagi petua Simpson pada kad.
Bukti hasil kerja: Kad rumus dan syarat sub-selang.
SP disasar: 12.2.1, 12.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menganggar ∫ f(x) dx menggunakan petua trapezium dan Simpson dengan jadual nilai 4 sub-selang dalam hamparan.
Bukti hasil kerja: Jadual nilai dan anggaran kamiran.
SP disasar: 12.2.1, 12.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid melakar fungsi cekung ke atas atau ke bawah untuk menentukan sama ada petua trapezium memberi anggaran lebih atau kurang, dan menganalisis kesan menambah sub-selang.
Bukti hasil kerja: Lakaran dan jadual ralat mengikut bilangan sub-selang.
SP disasar: 12.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai ketepatan petua trapezium berbanding Simpson dengan nilai kamiran tepat dan menulis cadangan kaedah yang wajar bagi satu masalah.
Bukti hasil kerja: Jadual ketepatan dan cadangan kaedah.
SP disasar: 12.2.1, 12.2.2, 12.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.