Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Probability

13.2 Conditional probability

Anda akan mengira kebarangkalian bersyarat (conditional probability), menguji peristiwa tak bersandar (independent events), dan menggunakan petua kebarangkalian jumlah (total probability rule) serta teorem Bayes (Bayes' theorem).

  • STPM
  • 4 SP
  • 13 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 13.2.1Calculate conditional probabilities and use the multiplication rule of probability P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B);

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (Mengira)

Calon perlu mengira kebarangkalian bersyarat P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) dan menggunakan petua pendaraban P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

  1. IsiKebarangkalian bersyarat
    Huraian

    Ruang sampel dihadkan kepada peristiwa yang diberi; bahagi persilangan dengan kebarangkalian syarat.

    Contoh

    P(A ∩ B) = 0.2, P(B) = 0.5: P(A|B) = 0.4.

  2. IsiPetua pendaraban
    Huraian

    Darab kebarangkalian peringkat pertama dengan kebarangkalian bersyarat peringkat kedua.

    Contoh

    2 bola dicabut tanpa pengembalian daripada 3 merah dan 2 biru: P(kedua-dua merah) = 3/5 × 2/4 = 3/10.

JadualRumus utama

KonsepRumus
Kebarangkalian bersyaratP(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Petua pendarabanP(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
Tak bersandarP(A ∩ B) = P(A) × P(B), atau P(A|B) = P(A)
Kebarangkalian jumlahP(B) = P(A₁)P(B|A₁) + P(A₂)P(B|A₂) + P(A₃)P(B|A₃)
Teorem BayesP(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B)
SP 13.2.1SP 13.2.2SP 13.2.3SP 13.2.4

Peta pokokRajah pokok dua peringkat

Mula
A (0.6)
  • D: 0.6 × 0.02 = 0.012
  • D': 0.6 × 0.98 = 0.588
B (0.4)
  • D: 0.4 × 0.05 = 0.020
  • D': 0.4 × 0.95 = 0.380
SP 13.2.1SP 13.2.3

SP 13.2.2Determine whether two events are independent;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Determine (Menentukan)

Calon perlu menentukan sama ada dua peristiwa tak bersandar (independent) dengan menyemak P(A ∩ B) = P(A)P(B) atau P(A|B) = P(A).

  1. IsiUjian hasil darab
    Huraian

    Kira P(A)P(B) dan bandingkan dengan P(A ∩ B).

    Contoh

    P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.2: 0.4 × 0.5 = 0.2, maka tak bersandar.

  2. IsiUjian bersyarat
    Huraian

    Jika P(A|B) ≠ P(A), maka maklumat B mengubah peluang A dan peristiwa itu bersandar.

    Contoh

    P(A) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.2, P(B) = 0.4: P(A|B) = 0.5 ≠ 0.3, maka bersandar.

Peta alirContoh: Uji ketaksandaran P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.2

  1. P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2
  2. Bandingkan dengan P(A ∩ B) = 0.2
  3. Sama, maka A dan B tak bersandar
SP 13.2.2

Peta buih bergandaSaling eksklusif lawan tak bersandar

Saling eksklusifP(A ∩ B) = 0Tidak boleh berlaku serentak
PersamaanHubungan antara dua peristiwa
Tak bersandarP(A ∩ B) = P(A)P(B)Satu tidak mempengaruhi kebarangkalian yang lain
SP 13.2.2

SP 13.2.3Use the total probability rule for an event splits over two or three mutually exclusive events;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu menggunakan petua kebarangkalian jumlah P(B) = Σ P(Aᵢ)P(B|Aᵢ) apabila peristiwa terbahagi kepada dua atau tiga peristiwa saling eksklusif.

  1. IsiDua cabang
    Huraian

    Darab kebarangkalian sepanjang setiap cabang rajah pokok yang membawa kepada B, kemudian jumlahkan.

    Contoh

    Mesin A 60% (rosak 2%), B 40% (rosak 5%): P(rosak) = 0.012 + 0.020 = 0.032.

  2. IsiTiga cabang
    Huraian

    Peristiwa A₁, A₂, A₃ mesti saling eksklusif dan jumlah kebarangkaliannya 1.

    Contoh

    Kilang 50%, 30%, 20% dengan rosak 1%, 2%, 3%: P(rosak) = 0.005 + 0.006 + 0.006 = 0.017.

Peta alirContoh: Mesin A 60%, mesin B 40%; kadar rosak 2% dan 5%

  1. P(D) = 0.6(0.02) + 0.4(0.05)
  2. = 0.012 + 0.020 = 0.032
  3. P(A|D) = 0.012/0.032
  4. = 0.375
SP 13.2.3SP 13.2.4

SP 13.2.4Use the formula for Bayes’ theorem.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu menggunakan rumus teorem Bayes P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B) untuk mencari kebarangkalian 'sebab' apabila 'kesan' diketahui.

  1. IsiLangkah Bayes
    Huraian

    Cari P(B) dengan petua kebarangkalian jumlah dahulu, kemudian bahagikan cabang berkaitan dengan P(B).

    Contoh

    P(A | rosak) = 0.012/0.032 = 0.375.

  2. IsiTafsiran
    Huraian

    Kebarangkalian dikemas kini selepas maklumat baharu; nilainya boleh sangat berbeza daripada kebarangkalian awal.

    Contoh

    Ujian penyakit: P(sakit) = 0.01, P(positif|sakit) = 0.95, P(positif|sihat) = 0.05: P(sakit|positif) = 0.0095/0.059 ≈ 0.161.

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

JBB
Jumlah dahulu (cari P(B)), Bahagi kemudian, Bayes selesai.

Kad imbas

P(A|B)
P(A ∩ B)/P(B)
Syarat tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Petua kebarangkalian jumlah
P(B) = Σ P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)
Teorem Bayes
P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B)

Semak kefahaman

  1. P(A ∩ B) = 0.15 dan P(A) = 0.5. Hitung P(B | A). (SP 13.2.1)

    Lihat jawapan

    P(B | A) = 0.15/0.5 = 0.3.

  2. P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 dan P(A ∩ B) = 0.3. Tentukan sama ada A dan B tak bersandar. (SP 13.2.2)

    Lihat jawapan

    P(A)P(B) = 0.5 × 0.6 = 0.3 = P(A ∩ B), maka A dan B tak bersandar.

  3. Mesin X menghasilkan 70% barang (3% rosak) dan mesin Y 30% (6% rosak). Hitung P(rosak). (SP 13.2.3)

    Lihat jawapan

    P(rosak) = 0.7(0.03) + 0.3(0.06) = 0.021 + 0.018 = 0.039.

  4. P(B) = 0.04, P(B | A) = 0.1 dan P(A) = 0.2. Hitung P(A | B). (SP 13.2.4)

    Lihat jawapan

    P(A | B) = P(B | A)P(A)/P(B) = 0.1(0.2)/0.04 = 0.02/0.04 = 0.5.

13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan beza P(A | B) dan P(A ∩ B) menggunakan gambar rajah pokok kebarangkalian dengan dua peringkat dan menyebut peraturan darab.

    Bukti hasil kerja: Gambar rajah pokok dan penerangan lisan.

    SP disasar: 13.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mengira kebarangkalian bersyarat dan menggunakan peraturan darab bagi pengambilan bola tanpa pemulangan, kemudian menguji kebebasan dua peristiwa dengan P(A ∩ B) = P(A)P(B).

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan ujian kebebasan.

    SP disasar: 13.2.1, 13.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menyelesaikan masalah ujian saringan kesihatan menggunakan peraturan kebarangkalian penuh (total probability rule) dan teorem Bayes (Bayes’ theorem), dan menganalisis mengapa keputusan positif sebenar rendah apabila penyakit jarang.

    Bukti hasil kerja: Jadual kebarangkalian dan analisis kumpulan.

    SP disasar: 13.2.3, 13.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menilai penjelasan dua rakan tentang masalah kebarangkalian bersyarat (satu tersilap kerana menganggap bebas) dan menulis pembetulan dengan alasan.

    Bukti hasil kerja: Ulasan bertulis dan penyelesaian dibetulkan.

    SP disasar: 13.2.2, 13.2.3, 13.2.4 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Probability

  1. 13.1 Probability of a single event and a combined event
  2. 13.2 Conditional probability