4.1 Complex numbers in Cartesian form
Unit ini memperkenalkan nombor kompleks (complex number) z = a + bi dalam bentuk Cartes, syarat kesamaan, operasi asas dan penyelesaian persamaan polinomial berpekali nyata.
SP 4.1.1Identify complex numbers, z = a + bi, and use conditions for the equality of two complex numbers;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Identify (mengenal pasti)
Calon perlu mengecam nombor kompleks (complex number) z = a + bi dan menggunakan syarat kesamaan dua nombor kompleks.
- IsiBahagian nyata dan khayalanHuraian
Re(z) = a dan Im(z) = b, kedua-duanya nombor nyata; i² = −1.
Contohz = −3 + 2i: Re(z) = −3, Im(z) = 2.
- IsiSyarat kesamaanHuraian
a + bi = c + di ⇔ a = c dan b = d; samakan bahagian nyata dan khayalan.
Contoh(a + bi)² = 3 + 4i ⇒ a² − b² = 3 dan 2ab = 4, maka (a, b) = (2, 1) atau (−2, −1).
IstilahIstilah asas
- i
- Unit khayalan (imaginary unit), i² = −1
- Bahagian nyata Re(z)
- a dalam z = a + bi
- Bahagian khayalan Im(z)
- b dalam z = a + bi (nombor nyata)
- Konjugat z* (conjugate)
- a − bi
- Modulus |z|
- √(a² + b²)
NotaKesamaan dua nombor kompleks
a + bi = c + di jika dan hanya jika a = c dan b = d. Contoh: (x + 2) + (y − 1)i = 5 + 3i memberi x = 3 dan y = 4.
SP 4.1.2Perform elementary operations on two complex numbers;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Perform (melakukan)
Calon perlu melakukan operasi asas (tambah, tolak, darab, bahagi) ke atas dua nombor kompleks.
- IsiTambah, tolak, darabHuraian
Kumpul bahagian nyata dan khayalan; gunakan i² = −1 semasa mendarab.
Contoh(1 + 2i)(3 − i) = 3 − i + 6i − 2i² = 5 + 5i.
- IsiBahagiHuraian
Darab pengangka dan penyebut dengan konjugat (conjugate) penyebut.
Contoh(5 + 5i)/(3 − i) = (5 + 5i)(3 + i)/10 = (10 + 20i)/10 = 1 + 2i.
JadualOperasi asas, z₁ = a + bi, z₂ = c + di
| Operasi | Hasil |
|---|---|
| z₁ + z₂ | (a + c) + (b + d)i |
| z₁ − z₂ | (a − c) + (b − d)i |
| z₁z₂ | (ac − bd) + (ad + bc)i |
| z₁/z₂ | Darab pengangka dan penyebut dengan konjugat c − di |
| zz* | a² + b² (nombor nyata) |
Peta alirContoh: (3 + 4i)/(1 + 2i)
- Darab dengan konjugat: (3 + 4i)(1 − 2i)/((1 + 2i)(1 − 2i)).
- Pengangka: 3 − 6i + 4i − 8i² = 11 − 2i.
- Penyebut: 1 + 4 = 5.
- Jawapan: 11/5 − (2/5)i.
SP 4.1.3Solve polynomial equations with real coefficients.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Solve (menyelesaikan)
Calon perlu menyelesaikan persamaan polinomial berpekali nyata, termasuk punca kompleks.
- IsiPersamaan kuadratikHuraian
Jika diskriminan negatif, punca ialah pasangan konjugat.
Contohz² − 4z + 13 = 0: z = (4 ± √(−36))/2 = 2 ± 3i.
- IsiPersamaan kubikHuraian
Punca kompleks berpasangan konjugat; faktorkan atau gunakan teorem faktor.
Contohz³ + z² + 4z + 4 = (z + 1)(z² + 4) = 0 memberi z = −1, 2i, −2i.
Peta alirContoh: selesaikan z³ − 3z² + 4z − 2 = 0 diberi 1 + i ialah punca
- Pekali nyata, maka 1 − i juga punca (pasangan konjugat).
- Faktor kuadratik: (z − 1 − i)(z − 1 + i) = z² − 2z + 2.
- Bahagi: z³ − 3z² + 4z − 2 = (z² − 2z + 2)(z − 1).
- Punca: 1 + i, 1 − i, 1.
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- RIK
- Bahagian z: Re(z) nyata, Im(z) khayalan, Konjugat tukar tanda i
Kad imbas
- i²
- −1
- Syarat a + bi = c + di
- a = c dan b = d
- Pembahagian nombor kompleks
- Darab atas dan bawah dengan konjugat penyebut
- Punca kompleks polinomial berpekali nyata
- Wujud dalam pasangan konjugat
- zz*
- a² + b²
Semak kefahaman
Nyatakan bahagian nyata (real part) dan bahagian khayalan (imaginary part) bagi z = (2 − i)². (SP 4.1.1)
Lihat jawapan
(2 − i)² = 4 − 4i + i² = 3 − 4i, maka Re(z) = 3 dan Im(z) = −4.
Hitung (4 − 3i) − (1 + 2i) + 2i(1 − i). (SP 4.1.2)
Lihat jawapan
(4 − 3i) − (1 + 2i) = 3 − 5i; 2i(1 − i) = 2i − 2i² = 2 + 2i; jumlah = 5 − 3i.
Selesaikan persamaan z² + 6z + 10 = 0. (SP 4.1.3)
Lihat jawapan
z = [−6 ± √(36 − 40)]/2 = (−6 ± 2i)/2 = −3 ± i, iaitu −3 + i dan −3 − i.
13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid memadankan kad istilah nombor kompleks (complex number): bahagian nyata, bahagian khayal, konjugat dan syarat kesamaan z₁ = z₂ dengan takrifnya.
Bukti hasil kerja: Kad padanan istilah dan soal jawab lisan.
SP disasar: 4.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid melakukan tambah, tolak, darab dan bahagi dua nombor kompleks, contohnya (3 + 4i)/(1 + 2i) dengan mendarab konjugat, dan menyelesaikan z₁ = z₂ untuk mencari a dan b.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja operasi langkah demi langkah.
SP disasar: 4.1.1, 4.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis punca persamaan polinomial berpekali nyata dan menerangkan mengapa punca kompleks hadir berpasangan konjugat menggunakan z³ − 3z² + 4z − 2 = 0 dengan 1 + i sebagai punca.
Bukti hasil kerja: Penyelesaian dan penjelasan pasangan konjugat.
SP disasar: 4.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu polinomial kubik berpekali nyata yang mempunyai punca 2 dan 1 − 3i, menulis persamaan, mengembangkannya dan menyemak dengan penggantian.
Bukti hasil kerja: Polinomial rekaan, pengembangan dan semakan penggantian.
SP disasar: 4.1.3 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.