7.2 Continuity
Unit ini menentukan keselanjaran (continuity) fungsi pada suatu titik dan pada selang, serta melakar graf fungsi tak selanjar dan menyatakan jenis ketakselanjaran (discontinuity).
SP 7.2.1Determine whether a function is continuous at x = c;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Determine (menentukan)
Calon perlu menentukan sama ada fungsi selanjar (continuous) pada x = c menggunakan tiga syarat.
- IsiTiga syaratHuraian
f(c) tertakrif, lim f(x) apabila x → c wujud, dan had itu sama dengan f(c).
Contohf(x) = x² + 1 pada x = 2: f(2) = 5 dan had = 5, maka selanjar.
- IsiFungsi cebisHuraian
Samakan had kiri, had kanan dan nilai fungsi di titik sambungan.
Contohf(x) = 2x + 1 (x < 1), x² + k (x ≥ 1): 3 = 1 + k, maka k = 2.
Peta alirSyarat keselanjaran pada x = c
- f(c) tertakrif.
- lim f(x) apabila x → c wujud.
- lim f(x) apabila x → c = f(c).
- Jika mana-mana gagal, f tak selanjar pada x = c.
Peta alirContoh: cari k supaya f selanjar, f(x) = x + k (x < 1), f(x) = 3x (x ≥ 1)
- Had kiri pada x = 1: 1 + k.
- Had kanan dan f(1): 3.
- Selanjar jika 1 + k = 3.
- k = 2.
SP 7.2.2Determine the intervals on which a function is continuous;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Determine (menentukan)
Calon perlu menentukan selang (interval) di mana sesuatu fungsi selanjar.
- IsiFungsi asasHuraian
Polinomial, eˣ, sin x, cos x selanjar pada ℝ; ln x pada (0, ∞); √x pada [0, ∞).
Contohf(x) = ln(x − 3) selanjar pada (3, ∞).
- IsiGabungan fungsiHuraian
Ambil persilangan domain dan kecualikan nilai yang menjadikan penyebut sifar.
Contohg(x) = √x/(x − 4) selanjar pada [0, 4) ∪ (4, ∞).
JadualSelang keselanjaran fungsi lazim
| Fungsi | Selanjar pada |
|---|---|
| Polinomial | Semua nombor nyata |
| Nisbah P(x)/Q(x) | Semua x kecuali Q(x) = 0 |
| √x | [0, ∞) |
| ln x | (0, ∞) |
| eˣ, sin x, cos x | Semua nombor nyata |
SP 7.2.3Sketch the graph of a discontinuous function and state the types of discontinuity shown.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Sketch (melakar)
Calon perlu melakar graf fungsi tak selanjar dan menyatakan jenis ketakselanjaran (discontinuity) yang ditunjukkan.
- IsiBoleh disingkir (removable)Huraian
Had wujud tetapi f(c) tidak tertakrif atau berbeza; graf mempunyai lubang.
Contohf(x) = (x² − 1)/(x − 1) ialah garis y = x + 1 dengan lubang di (1, 2).
- IsiLompatan dan tak terhinggaHuraian
Lompatan: had kiri ≠ had kanan (kedua-duanya terhingga). Tak terhingga: f(x) → ±∞ berhampiran c (asimptot mencancang).
Contohf(x) = 1 (x < 0), 3 (x ≥ 0) melompat di x = 0; f(x) = 1/(x + 2) tak terhingga di x = −2.
Peta pokokJenis ketakselanjaran
- Had wujud tetapi ≠ f(c) atau f(c) tak tertakrif
- Graf ada lubang
- Had kiri ≠ had kanan, kedua-duanya terhingga
- f(x) → ±∞ berhampiran c
- Asimptot mencancang
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- TWS
- Keselanjaran: Tertakrif, Wujud had, Sama nilai
Kad imbas
- Tiga syarat keselanjaran
- f(c) tertakrif, had wujud, had = f(c)
- Selang keselanjaran ln x
- (0, ∞)
- Ketakselanjaran boleh disingkir
- Graf ada lubang; had wujud
- Ketakselanjaran lompatan
- Had kiri ≠ had kanan
- Fungsi 1/(x − 2) tak selanjar pada
- x = 2 (tak terhingga)
Semak kefahaman
Nyatakan tiga syarat bagi fungsi f selanjar (continuous) pada x = c. (SP 7.2.1)
Lihat jawapan
f(c) tertakrif; lim f(x) apabila x → c wujud; dan had itu sama dengan f(c).
Nyatakan selang (interval) di mana f(x) = √(x − 5) selanjar. (SP 7.2.2)
Lihat jawapan
√(x − 5) tertakrif dan selanjar apabila x − 5 ≥ 0, iaitu x ≥ 5 atau selang [5, ∞).
Nyatakan jenis ketakselanjaran (discontinuity) bagi f(x) = (x² − 9)/(x − 3) pada x = 3 dan koordinat lubang pada grafnya. (SP 7.2.3)
Lihat jawapan
f(x) = x + 3 bagi x ≠ 3 dan had wujud (= 6) tetapi f(3) tidak tertakrif, maka ketakselanjaran boleh disingkir (removable) dengan lubang di (3, 6).
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menyemak tiga syarat kesinambungan (continuity) pada x = c bagi graf yang diberi dan menerangkan secara lisan syarat yang gagal.
Bukti hasil kerja: Soal jawab lisan dan senarai semak tiga syarat.
SP disasar: 7.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menentukan kesinambungan fungsi cebis demi cebis pada x = c dengan mencari had kiri, had kanan dan f(c), kemudian menyatakan selang kesinambungan fungsi.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan senarai selang kesinambungan.
SP disasar: 7.2.1, 7.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid melakar fungsi tak selanjar, mengelaskan ketakselanjaran sebagai lompatan, boleh ditanggalkan atau tak terhingga, lalu membandingkan lakaran antara kumpulan.
Bukti hasil kerja: Lakaran bertanda jenis ketakselanjaran dan jadual bandingan.
SP disasar: 7.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka bentuk fungsi cebis demi cebis dengan parameter k supaya selanjar pada x = 2, membukti nilai k dan melakar graf yang terhasil.
Bukti hasil kerja: Fungsi rekaan, bukti nilai k dan lakaran graf.
SP disasar: 7.2.1, 7.2.2, 7.2.3 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.