7.1 Ketaksamaan
Kita akan membanding nombor menggunakan simbol ketaksamaan, menerbitkan ketaksamaan algebra dan membuat generalisasi sifat-sifat ketaksamaan.
SP 7.1.1Membanding nilai nombor, memerihal ketaksamaan dan seterusnya menerbitkan ketaksamaan algebra.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Membanding
Murid perlu membandingkan nilai nombor (termasuk nombor negatif) dengan garis nombor, memerihalkan ketaksamaan dengan simbol >, <, ≥, ≤ dan menulis ketaksamaan algebra daripada situasi.
- IsiMembanding dan memerihalHuraian
Pada garis nombor, nombor di kanan lebih besar. Gunakan > (lebih besar daripada), < (kurang daripada), ≥ (lebih besar daripada atau sama dengan), ≤ (kurang daripada atau sama dengan).
Contoh−6 < −1 kerana −6 di kiri −1; 4 > −4.
- IsiMenerbitkan ketaksamaan algebraHuraian
Wakilkan kuantiti dengan huruf dan pilih simbol mengikut maksud frasa.
ContohSuhu t di bawah −2°C: t < −2. Umur u sekurang-kurangnya 13 tahun: u ≥ 13.
JadualSimbol ketaksamaan
| Simbol | Maksud | Contoh |
|---|---|---|
| > | lebih besar daripada | 7 > 3 |
| < | kurang daripada | −5 < −2 |
| ≥ | lebih besar daripada atau sama dengan | x ≥ 4 |
| ≤ | kurang daripada atau sama dengan | y ≤ 10 |
NotaMemerihal dan menerbitkan ketaksamaan
Ketaksamaan ialah hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama nilai. Pada garis nombor, nombor di sebelah kanan sentiasa lebih besar. Contoh: x lebih besar daripada 5 ditulis x > 5; berat murid sekurang-kurangnya 40 kg ditulis w ≥ 40; umur tidak melebihi 12 tahun ditulis u ≤ 12.
SP 7.1.2Membuat generalisasi tentang ketaksamaan yang berkaitan dengan (i) sifat akas dan transitif, songsangan terhadap penambahan dan pendaraban.- Membuat generalisasi tentang ketaksamaan yang berkaitan dengan (ii) operasi asas aritmetik.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Membuat
Murid perlu meneroka dan merumuskan generalisasi ketaksamaan bagi (i) sifat akas, sifat transitif, songsangan terhadap penambahan dan pendaraban, serta (ii) kesan operasi asas aritmetik pada kedua-dua belah ketaksamaan.
- Isi(i) Sifat akas dan transitifHuraian
Akas: jika a < b, maka b > a. Transitif: jika a < b dan b < c, maka a < c.
Contoh3 < 8 maka 8 > 3; −5 < 0 dan 0 < 2 maka −5 < 2.
- Isi(i) Songsangan terhadap penambahan dan pendarabanHuraian
Penambahan: jika a < b, maka −a > −b. Pendaraban: jika a < b (a, b positif), maka 1/a > 1/b.
Contoh2 < 7 maka −2 > −7; 2 < 5 maka 1/2 > 1/5.
- Isi(ii) Operasi asas aritmetikHuraian
Tambah, tolak, darab atau bahagi dengan nombor positif: arah simbol kekal. Darab atau bahagi dengan nombor negatif: arah simbol berbalik.
Contoh4 < 9: 4 + 2 < 9 + 2; 4 × 3 < 9 × 3; tetapi 4 × (−1) > 9 × (−1), iaitu −4 > −9.
Peta pokokSifat ketaksamaan
- Jika a > b, maka b < a
- Contoh: 8 > 3 maka 3 < 8
- Jika a < b dan b < c, maka a < c
- Contoh: 2 < 5 dan 5 < 9 maka 2 < 9
- Jika a > b, maka −a < −b
- Contoh: 4 > 1 maka −4 < −1
- Jika a > b (a, b positif), maka 1/a < 1/b
- Contoh: 4 > 2 maka 1/4 < 1/2
JadualOperasi asas aritmetik ke atas ketaksamaan
| Operasi kedua-dua belah | Arah simbol | Contoh daripada 6 > 2 |
|---|---|---|
| Tambah nombor yang sama | Kekal | 6 + 3 > 2 + 3 iaitu 9 > 5 |
| Tolak nombor yang sama | Kekal | 6 − 4 > 2 − 4 iaitu 2 > −2 |
| Darab nombor positif | Kekal | 6 × 2 > 2 × 2 iaitu 12 > 4 |
| Bahagi nombor positif | Kekal | 6 ÷ 2 > 2 ÷ 2 iaitu 3 > 1 |
| Darab nombor negatif | Berbalik | 6 × (−1) < 2 × (−1) iaitu −6 < −2 |
| Bahagi nombor negatif | Berbalik | 6 ÷ (−2) < 2 ÷ (−2) iaitu −3 < −1 |
Peta alirContoh: Tentukan simbol bagi −3x ? −3y jika x > y
- Diberi x > y
- Darab kedua-dua belah dengan −3 (nombor negatif)
- Arah simbol mesti diterbalikkan
- Jawapan: −3x < −3y
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- TAKS
- Transitif (a < b, b < c maka a < c); Akas (a > b maka b < a); Kekal arah bila tambah, tolak, darab atau bahagi nombor positif; Songsang arah bila darab atau bahagi nombor negatif.
Kad imbas
- Apakah maksud simbol ≥?
- Lebih besar daripada atau sama dengan
- Sifat akas
- Jika a > b, maka b < a
- Sifat transitif
- Jika a < b dan b < c, maka a < c
- Bila arah simbol ketaksamaan berbalik?
- Apabila kedua-dua belah didarab atau dibahagi dengan nombor negatif
- Tulis "paling kurang 18" sebagai ketaksamaan
- x ≥ 18
Semak kefahaman
Antara −8 dan −3, yang manakah lebih besar? Gunakan garis nombor. (SP 7.1.1)
Lihat jawapan
−3 lebih besar kerana −3 terletak di sebelah kanan −8 pada garis nombor.
Diberi 2 kurang daripada 5. Tuliskan ketaksamaan baharu jika kedua-dua belah didarab dengan −3. (SP 7.1.2)
Lihat jawapan
2 × (−3) = −6 dan 5 × (−3) = −15; darab nombor negatif membalikkan arah simbol, maka −15 < −6.
11 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Tahap Penguasaan (TP)
| TP | Tafsiran |
|---|---|
| TP1 | Mempamerkan pengetahuan asas tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah. |
| TP2 | Mempamerkan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah. |
| TP3 | Mengaplikasikan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah untuk melaksanakan tugasan mudah. |
| TP4 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. |
| TP5 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. |
| TP6 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin. |
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
- TP1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah.
Aktiviti: Murid memadankan kad perkataan (lebih besar, kurang daripada) dengan simbol lebih besar atau lebih kecil pada garis nombor secara berpasangan.
Evidens PBD: Padanan kad dan simbol dipantau.
SP disasar: 7.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - TP2
Mempamerkan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah.
Aktiviti: Murid menerangkan sifat ketaksamaan dengan contoh nombor (3 lebih kecil daripada 5, -3 lebih besar daripada -5), kepada rakan.
Evidens PBD: Penerangan lisan murid.
SP disasar: 7.1.1, 7.1.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - TP3
Mengaplikasikan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah untuk melaksanakan tugasan mudah.
Aktiviti: Murid menulis ketaksamaan algebra daripada ayat dan menguji sifat akas, transitif, penambahan dan pendaraban dengan nombor pada lembaran kerja.
Evidens PBD: Lembaran kerja: ketaksamaan dan semakan sifat.
SP disasar: 7.1.1, 7.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - TP4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Aktiviti: Murid membuat generalisasi tentang kesan mendarab dengan nombor negatif ke atas ketaksamaan melalui jadual contoh dan menyatakan kesimpulan.
Evidens PBD: Jadual contoh dan kesimpulan bertulis.
SP disasar: 7.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - TP5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis pernyataan benar atau palsu tentang ketaksamaan (cth jika a lebih besar daripada b, adakah -a lebih besar daripada -b), membetulkan dan menjustifikasi.
Evidens PBD: Rubrik: pembetulan dan justifikasi.
SP disasar: 7.1.2 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati - TP6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ketaksamaan linear dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin.
Aktiviti: Murid mereka set pernyataan ketaksamaan benar dan palsu dengan sifat berbeza, menyediakan jawapan berjustifikasi dan bertukar dengan rakan.
Evidens PBD: Set pernyataan cipta dan jawapan.
SP disasar: 7.1.1, 7.1.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 35 unit Matematik Tingkatan 1 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.