1.1 Ubahan Langsung
Anda akan memahami maksud ubahan langsung dan ubahan tercantum, menentukan persamaannya serta menyelesaikan masalah berkaitan.
SP 1.1.1Menerangkan maksud ubahan langsung.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menerangkan
Murid perlu menerangkan apa itu ubahan langsung dan mengapa dua kuantiti dikatakan berubah secara langsung, berdasarkan situasi sebenar, jadual dan graf.
- IsiMaksud ubahan langsungHuraian
y berubah secara langsung dengan x jika y bertambah apabila x bertambah dan y berkurang apabila x berkurang, dengan nisbah y/x sentiasa malar. Ditulis y ∝ x, iaitu y = kx.
ContohHarga gula RM2.80 sekilogram: 2 kg berharga RM5.60, 5 kg berharga RM14. Nisbah harga/jisim sentiasa 2.80.
- IsiBukti melalui jadual dan grafHuraian
Dalam jadual, setiap y/x memberi nilai yang sama. Graf y melawan x ialah garis lurus yang melalui asalan.
Contohx = 1, 2, 3 dan y = 4, 8, 12: y/x = 4 bagi semua pasangan, dan graf ialah garis lurus melalui (0, 0).
NotaMaksud ubahan langsung
Ubahan langsung ialah hubungan antara dua pemboleh ubah x dan y dengan keadaan apabila x bertambah, y bertambah dengan kadar yang sama, dan apabila x berkurang, y berkurang dengan kadar yang sama. Ditulis y ∝ x dan dibaca "y berubah secara langsung dengan x". Graf y melawan x ialah garis lurus yang melalui asalan.
Poin utamaCiri penting
- k ialah pemalar ubahan, k = y/xⁿ, dengan n = 1, 2, 3, 1/2 atau 1/3.
- Nisbah y/xⁿ sentiasa sama bagi setiap pasangan nilai.
- Graf y melawan xⁿ ialah garis lurus melalui asalan dengan kecerunan k.
- Hubungan boleh juga ditulis y₁/x₁ⁿ = y₂/x₂ⁿ.
Peta buihSituasi ubahan langsung dalam kehidupan
SP 1.1.2Menentukan hubungan antara dua pemboleh ubah bagi suatu ubahan langsung.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menentukan
Murid perlu menentukan persamaan y = kxⁿ (n = 1, 2, 3, 1/2, 1/3) daripada maklumat yang diberi dan mengaitkan pemalar k dengan kadaran dan kecerunan garis lurus.
- IsiMencari pemalar kHuraian
Tulis y = kxⁿ, ganti satu pasangan nilai, kemudian selesaikan k = y/xⁿ.
Contohy ∝ x² dan y = 18 apabila x = 3: k = 18/9 = 2, maka y = 2x².
- IsiKes n = 1/2 dan n = 1/3Huraian
y ∝ √x bermaksud y = k√x; y ∝ ∛x bermaksud y = k∛x.
Contohy ∝ ∛x dan y = 6 apabila x = 8: k = 6/∛8 = 6/2 = 3, maka y = 3∛x.
- IsiKaitan dengan kadaran dan kecerunanHuraian
k ialah kadaran y kepada xⁿ. Graf y melawan xⁿ ialah garis lurus melalui asalan dengan kecerunan k.
ContohBagi y = 2x², plot y melawan x² memberi garis lurus melalui asalan dengan kecerunan 2.
JadualBentuk ubahan langsung dan ubahan tercantum
| Ubahan | Tatatanda | Persamaan |
|---|---|---|
| y berubah secara langsung dengan x | y ∝ x | y = kx |
| y berubah secara langsung dengan x² | y ∝ x² | y = kx² |
| y berubah secara langsung dengan x³ | y ∝ x³ | y = kx³ |
| y berubah secara langsung dengan √x | y ∝ √x | y = k√x |
| y berubah secara langsung dengan ∛x | y ∝ ∛x | y = k∛x |
| y berubah secara tercantum dengan x dan z | y ∝ xz | y = kxz |
| y berubah secara tercantum dengan x², z dan w | y ∝ x²zw | y = kx²zw |
Peta alirContoh: y ∝ x², y = 18 apabila x = 3. Cari y apabila x = 5.
- Tulis persamaan: y = kx².
- Gantikan: 18 = k(3)² = 9k, maka k = 2.
- Persamaan: y = 2x².
- Apabila x = 5: y = 2(5)² = 2(25) = 50.
SP 1.1.3Menentukan hubungan antara tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan tercantum.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menentukan
Murid perlu menentukan persamaan ubahan tercantum, iaitu satu pemboleh ubah berubah secara langsung dengan hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah lain.
- IsiBentuk ubahan tercantumHuraian
y ∝ xz bermaksud y = kxz. Kuasa boleh terlibat, contohnya y ∝ x²z bermaksud y = kx²z.
ContohIsi padu silinder V = πj²t: V berubah secara tercantum dengan j² dan t, k = π.
- IsiMencari k ubahan tercantumHuraian
Ganti nilai semua pemboleh ubah serentak dalam satu persamaan.
Contohp ∝ qr, p = 24 apabila q = 2 dan r = 3: 24 = 6k, k = 4, maka p = 4qr.
Peta alirContoh: p berubah secara tercantum dengan q dan r. p = 24 apabila q = 2 dan r = 3. Cari p apabila q = 5 dan r = 4.
- Tulis persamaan: p = kqr.
- Gantikan: 24 = k(2)(3) = 6k, maka k = 4.
- Persamaan: p = 4qr.
- p = 4(5)(4) = 80.
SP 1.1.4Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Menyelesaikan
Murid perlu menyelesaikan masalah kehidupan sebenar yang melibatkan ubahan langsung secara langkah demi langkah.
- IsiLangkah penyelesaianHuraian
Kenal pasti jenis ubahan, tulis persamaan dengan k, cari k, kemudian ganti nilai baharu.
ContohUpah 5 jam RM60, upah ∝ jam: k = 12, upah 8 jam = 12 × 8 = RM96.
- IsiMasalah melibatkan kuasaHuraian
Jika kuantiti berubah dengan kuasa dua, gandaan x memberi gandaan kuasa dua kepada y.
ContohJarak brek d ∝ v²: jika laju berganda dua, jarak brek menjadi 2² = 4 kali.
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- TGK
- Tulis persamaan, Ganti nilai untuk cari k, Kira nilai yang dikehendaki
Kad imbas
- Tatatanda "y berubah secara langsung dengan x"
- y ∝ x, iaitu y = kx
- Graf y melawan x bagi ubahan langsung
- Garis lurus melalui asalan
- Pemalar k bagi y ∝ x³
- k = y/x³
- Ubahan tercantum y dengan x dan z
- y ∝ xz, iaitu y = kxz
- Langkah mencari k
- Ganti pasangan nilai yang diberi ke dalam persamaan, kemudian selesaikan k
Semak kefahaman
Nyatakan maksud 'y berubah secara langsung dengan x'. (SP 1.1.1)
Lihat jawapan
y bertambah apabila x bertambah dan y berkurang apabila x berkurang dengan nisbah y/x sentiasa malar, iaitu y = kx.
y ∝ x dan y = 15 apabila x = 5. Tentukan persamaan y dalam sebutan x. (SP 1.1.2)
Lihat jawapan
15 = 5k, k = 3, maka y = 3x.
w ∝ xy dan w = 30 apabila x = 2 dan y = 5. Tentukan persamaan w. (SP 1.1.3)
Lihat jawapan
30 = k(2)(5) = 10k, k = 3, maka w = 3xy.
Jarak berubah secara langsung dengan masa. Sebuah bas bergerak 150 km dalam 2 jam. Hitung jarak dalam 5 jam. (SP 1.1.4)
Lihat jawapan
k = 150 ÷ 2 = 75; jarak = 75 × 5 = 375 km.
16 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Tahap Penguasaan (TP)
| TP | Tafsiran |
|---|---|
| TP1 | Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan. |
| TP2 | Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. |
| TP3 | Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah. |
| TP4 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. |
| TP5 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. |
| TP6 | Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif. |
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
- TP1
Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan.
Aktiviti: Murid memadankan situasi harian seperti kos membeli pensel dengan bilangan pensel dengan kad yang menunjukkan jenis ubahan, dan menyebut maksud ubahan langsung secara berpasangan.
Evidens PBD: Padanan kad dan sebutan maksud.
SP disasar: 1.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - TP2
Mempamerkan kefahaman tentang ubahan.
Aktiviti: Murid melengkapkan jadual nilai y = kx daripada data perbelanjaan, mencari pemalar k dan melukis graf garis lurus melalui asalan.
Evidens PBD: Jadual, graf dan nilai k yang betul.
SP disasar: 1.1.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - TP3
Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah.
Aktiviti: Murid menulis hubungan y ∝ x dan y = kx, dan juga hubungan tiga pemboleh ubah z ∝ xy bagi ubahan tercantum, kemudian mencari nilai pemalar daripada data.
Evidens PBD: Lembaran kerja dengan persamaan ubahan.
SP disasar: 1.1.2, 1.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - TP4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Aktiviti: Murid menyelesaikan masalah rutin: jika 5 buku berharga RM40, cari harga 12 buku dan bilangan buku bagi RM100 menggunakan ubahan langsung.
Evidens PBD: Langkah penyelesaian dan semakan kewajaran.
SP disasar: 1.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - TP5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan harga seunit di dua kedai berdasarkan ubahan langsung, memilih kedai yang lebih murah dan menjustifikasikan.
Evidens PBD: Pengiraan dan justifikasi kumpulan.
SP disasar: 1.1.4 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati - TP6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Aktiviti: Murid mereka masalah ubahan langsung tentang resipi kek atau kadar upah, mencipta jadual dan graf, menyelesaikan dan membentangkan masalah kepada kumpulan lain.
Evidens PBD: Masalah, jadual dan graf hasil murid.
SP disasar: 1.1.4 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 16 unit Matematik Tingkatan 5 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.