Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Correlation and Regression

12.1 Correlation

Unit ini membincangkan korelasi (correlation): gambar rajah serakan, pekali korelasi Pearson dan pekali korelasi pangkat Spearman beserta kesesuaian dan batasannya.

  • STPM
  • 4 SP
  • 12 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 12.1.1Plot a scatter diagram and determine whether there is any plausible linear relationship between two variables;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Plot (Memplot)

Calon perlu memplot gambar rajah serakan (scatter diagram) dan menentukan sama ada terdapat hubungan linear yang munasabah antara dua pemboleh ubah.

  1. IsiMemplot titik
    Huraian

    Letak pemboleh ubah tak bersandar x pada paksi mengufuk dan y pada paksi mencancang; plot setiap pasangan (x, y).

    Contoh

    Data (1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 4), (5, 5) diplot; titik menaik di sekitar satu garis lurus: hubungan linear positif.

  2. IsiMenentukan hubungan linear
    Huraian

    Titik di sekitar garis lurus menaik atau menurun: hubungan linear munasabah. Titik rawak atau berbentuk lengkung (cth U): tiada hubungan linear.

    Contoh

    Kos bahan api lawan kelajuan membentuk lengkung U; walaupun berkait, hubungan itu tidak linear.

NotaGambar rajah serakan (scatter diagram)

Plot pasangan (x, y) sebagai titik. Jika titik-titik bertaburan hampir di sekitar satu garis lurus, terdapat hubungan linear yang munasabah. Corak menaik bermaksud korelasi positif, corak menurun bermaksud korelasi negatif, dan taburan rawak bermaksud tiada korelasi linear.

SP 12.1.1

SP 12.1.2Calculate and interpret the Pearson correlation coefficient;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (Mengira)

Calon perlu mengira pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(SxxSyy) dan mentafsir tanda serta kekuatannya.

  1. IsiPengiraan r
    Huraian

    Hitung Sxy = Σxy − (Σx)(Σy)/n, Sxx dan Syy, kemudian r.

    Contoh

    Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55, Σy² = 86, n = 5: Sxy = 6, Sxx = 10, Syy = 6, r = 6/√60 = 0.775.

  2. IsiTafsiran r
    Huraian

    r hampir 1: linear positif kuat; hampir −1: linear negatif kuat; hampir 0: tiada hubungan linear.

    Contoh

    Sxy = −18, Sxx = 20, Syy = 20: r = −18/20 = −0.9, korelasi linear negatif yang kuat.

JadualRumus pekali korelasi

PekaliRumus
Sxy, Sxx, SyySxy = Σxy − (Σx)(Σy)/n; Sxx = Σx² − (Σx)²/n; Syy = Σy² − (Σy)²/n
Pearson rr = Sxy/√(Sxx Syy), −1 ≤ r ≤ 1
Spearman rsrs = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)], d = beza pangkat
SP 12.1.2SP 12.1.3

Peta alirContoh Pearson: x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5.

  1. Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55, Σy² = 86.
  2. Sxy = 66 − 15×20/5 = 6; Sxx = 55 − 45 = 10; Syy = 86 − 80 = 6.
  3. r = 6/√(10×6) = 6/7.746 = 0.775.
  4. Tafsiran: korelasi linear positif yang kuat.
SP 12.1.2

SP 12.1.3Calculate and interpret the Spearman rank correlation coefficient;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (Mengira)

Calon perlu memangkat data, mengira pekali korelasi pangkat Spearman rs = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)] dan mentafsirnya.

  1. IsiPengiraan rs
    Huraian

    Pangkatkan setiap pemboleh ubah, cari d = beza pangkat, jumlahkan d², kemudian guna rumus.

    Contoh

    n = 5, Σd² = 4: rs = 1 − 24/120 = 0.8, korelasi pangkat positif yang kuat.

  2. IsiPangkat dua juri
    Huraian

    Nilai sama diberi pangkat purata. Tafsir rs seperti r tetapi bagi persetujuan pangkat.

    Contoh

    Juri A: 1, 2, 3, 4; juri B: 2, 1, 4, 3. d = −1, 1, −1, 1, Σd² = 4, rs = 1 − 24/(4 × 15) = 0.6.

Peta alirContoh Spearman: n = 5, Σd² = 4.

  1. rs = 1 − 6(4)/[5(25 − 1)] = 1 − 24/120 = 0.8.
  2. Tafsiran: korelasi pangkat positif yang kuat.
SP 12.1.3

SP 12.1.4State the appropriateness and limitations of the Pearson correlation coefficient and the Spearman rank correlation coefficient.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)

Calon perlu menyatakan bila pekali Pearson dan Spearman sesuai digunakan serta batasan setiap satu.

  1. IsiPearson: kesesuaian dan batasan
    Huraian

    Sesuai bagi data berangka (selang/nisbah) dengan hubungan linear. Batasan: mengukur hubungan linear sahaja dan sensitif kepada pencilan (outlier).

    Contoh

    Tinggi dan berat murid: sesuai. Satu titik ekstrem boleh menukar r daripada 0.8 kepada nilai jauh lebih kecil.

  2. IsiSpearman: kesesuaian dan batasan
    Huraian

    Sesuai bagi data pangkat/ordinal atau hubungan monoton, kurang terjejas oleh pencilan. Batasan: kehilangan maklumat nilai sebenar. Kedua-dua pekali tidak membuktikan sebab-akibat.

    Contoh

    Kedudukan peserta oleh dua juri: sesuai Spearman. Korelasi tinggi jualan aiskrim dan kes lemas tidak bermakna satu menyebabkan yang lain.

Peta buih bergandaPearson berbanding Spearman

Pearson rSesuai untuk data selang/nisbahMengukur hubungan linear sahajaSensitif kepada nilai pencilan (outlier)
PersamaanNilai antara −1 hingga 1Mengukur kekuatan hubungan
Spearman rsSesuai untuk data pangkat atau ordinalMengukur hubungan monotonKurang dipengaruhi pencilan tetapi kehilangan maklumat nilai sebenar
SP 12.1.4

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

PLSP
Pearson Linear, Spearman Pangkat — Pearson untuk hubungan linear, Spearman untuk data pangkat

Kad imbas

Corak menaik dalam gambar rajah serakan
Korelasi positif
Rumus Pearson r
Sxy/√(Sxx Syy)
Rumus Spearman rs
1 − 6Σd²/[n(n² − 1)]
Batasan Pearson
Hanya hubungan linear; sensitif kepada pencilan
r = 0 bermaksud
Tiada korelasi linear (mungkin ada hubungan tidak linear)

Semak kefahaman

  1. Nyatakan paksi bagi pemboleh ubah tak bersandar x dalam gambar rajah serakan. (SP 12.1.1)

    Lihat jawapan

    Pemboleh ubah tak bersandar x diplot pada paksi mengufuk (paksi-x).

  2. Sxy = −15, Sxx = 25 dan Syy = 36. Hitung r. (SP 12.1.2)

    Lihat jawapan

    r = −15/√(25 × 36) = −15/30 = −0.5.

  3. Bagi n = 5 dan Σd² = 10, hitung rs. (SP 12.1.3)

    Lihat jawapan

    rs = 1 − 6(10)/[5(25 − 1)] = 1 − 60/120 = 0.5.

  4. Nyatakan satu batasan pekali korelasi Pearson. (SP 12.1.4)

    Lihat jawapan

    Pearson hanya mengukur hubungan linear dan sensitif kepada pencilan (outlier).

12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Mengingat

    Aktiviti: Murid melukis rajah serak (scatter diagram) daripada sepuluh pasangan data dan menyatakan jenis hubungan: positif, negatif atau tiada.

    Bukti hasil kerja: Rajah serak dan pernyataan jenis hubungan.

    SP disasar: 12.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mengira pekali korelasi Pearson (Pearson correlation coefficient) dan pekali korelasi pangkat Spearman (Spearman rank correlation coefficient) bagi data yang sama dan menafsir nilainya.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan tafsiran r dan rₛ.

    SP disasar: 12.1.2, 12.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan r dan rₛ bagi data dengan titik terpencil, menganalisis mengapa nilai berbeza dan menerangkan had kedua-dua pekali.

    Bukti hasil kerja: Jadual perbandingan dan analisis titik terpencil.

    SP disasar: 12.1.2, 12.1.3, 12.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menilai dakwaan akhbar yang menyimpulkan sebab akibat daripada korelasi tinggi dan menulis hujah balas dengan menyatakan had pekali.

    Bukti hasil kerja: Hujah bertulis tentang korelasi bukan sebab akibat.

    SP disasar: 12.1.2, 12.1.4 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Correlation and Regression

  1. 12.1 Correlation
  2. 12.2 Regression