Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Hypothesis Testing

11.2 Hypothesis testing on a single population

Unit ini menjalankan ujian hipotesis bagi satu populasi: ujian min (z atau t) dan ujian kadaran untuk sampel besar, sama ada satu hujung (one-tailed) atau dua hujung (two-tailed).

  • STPM
  • 5 SP
  • 16 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 11.2.1State the null and alternative hypotheses for a one-tailed or two-tailed hypothesis test concerning a population mean;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)

Calon perlu menyatakan H0 dan H1 bagi ujian satu hujung atau dua hujung tentang min populasi berdasarkan kata kunci dalam dakwaan.

  1. IsiUjian satu hujung
    Huraian

    Kata kunci 'kurang daripada', 'melebihi', 'bertambah' memberi H1 dengan < atau >. H0 sentiasa μ = μ0.

    Contoh

    Pengilang mendakwa min hayat bateri 40 jam; pengguna syak kurang: H0: μ = 40, H1: μ < 40.

  2. IsiUjian dua hujung
    Huraian

    Kata kunci 'berbeza', 'berubah' memberi H1: μ ≠ μ0, dengan rantau genting di kedua-dua hujung.

    Contoh

    Menguji sama ada min isi padu botol berubah daripada 330 ml: H0: μ = 330, H1: μ ≠ 330.

JadualBentuk hipotesis

Jenis ujianMinKadaran
Dua hujungH0: μ = μ0, H1: μ ≠ μ0H0: p = p0, H1: p ≠ p0
Satu hujung (kanan)H0: μ = μ0, H1: μ > μ0H0: p = p0, H1: p > p0
Satu hujung (kiri)H0: μ = μ0, H1: μ < μ0H0: p = p0, H1: p < p0
SP 11.2.1SP 11.2.4

Peta pokokMemilih ujian

Ujian satu populasi
Min μ
  • σ² diketahui: Z
  • σ² tidak diketahui, n kecil, normal: T
  • σ² tidak diketahui, n besar: Z dengan s
Kadaran p
  • n besar: Z dengan √(p0q0/n)
SP 11.2.1SP 11.2.2SP 11.2.3SP 11.2.4SP 11.2.5

SP 11.2.2Carry out a hypothesis test concerning a population mean based on a random sample from a normal population with known variance or based on a large random sample from a non-normal population with known variance;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Carry out (Menjalankan)

Calon perlu menjalankan ujian hipotesis tentang min populasi dengan statistik Z = (x̄ − μ0)/(σ/√n) apabila σ² diketahui (populasi normal, atau sampel besar daripada populasi tidak normal) hingga kesimpulan.

  1. IsiUjian dua hujung
    Huraian

    Hitung Z, bandingkan dengan ±z(α/2), buat keputusan dan kesimpulan.

    Contoh

    σ = 6, n = 36, x̄ = 52, H0: μ = 50, H1: μ ≠ 50, α = 5%: Z = 2/1 = 2 > 1.96, tolak H0.

  2. IsiUjian satu hujung
    Huraian

    Rantau genting di satu hujung sahaja: z(α), cth 1.645 bagi 5%.

    Contoh

    σ = 10, n = 25, x̄ = 104, H1: μ > 100, α = 5%: Z = 4/2 = 2 > 1.645, tolak H0; min melebihi 100.

JadualStatistik ujian

KeadaanStatistik ujian
Populasi normal, σ² diketahui; atau n besar, σ² diketahuiZ = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Populasi normal, n kecil, σ² tidak diketahuiT = (x̄ − μ0)/(s/√n), darjah kebebasan n − 1
n besar, σ² tidak diketahuiZ = (x̄ − μ0)/(s/√n)
Kadaran, n besarZ = (p̂ − p0)/√(p0q0/n)
SP 11.2.2SP 11.2.3SP 11.2.5

Peta alirContoh ujian min (z): σ = 6, n = 36, x̄ = 52. Uji H0: μ = 50 lawan H1: μ ≠ 50 pada aras 5%.

  1. Z = (52 − 50)/(6/√36) = 2/1 = 2.
  2. Nilai genting ±1.96; rantau genting |Z| > 1.96.
  3. 2 > 1.96, tolak H0.
  4. Kesimpulan: ada bukti bahawa min berbeza daripada 50.
SP 11.2.2

SP 11.2.3Carry out a hypothesis test concerning a population mean based on a small random sample from a normal population with unknown variance or based on a large random sample from any population with unknown variance;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Carry out (Menjalankan)

Calon perlu menjalankan ujian min apabila σ² tidak diketahui: statistik T dengan n − 1 darjah kebebasan bagi sampel kecil daripada populasi normal, atau Z dengan s bagi sampel besar.

  1. IsiSampel kecil: ujian t
    Huraian

    T = (x̄ − μ0)/(s/√n), bandingkan dengan t(α, n − 1).

    Contoh

    n = 9, x̄ = 48, s = 3, H1: μ < 50, α = 5%: T = −2, t(0.05, 8) = 1.860; −2 < −1.860, tolak H0.

  2. IsiSampel besar: ujian z dengan s
    Huraian

    Z = (x̄ − μ0)/(s/√n). Mengikut catatan sukatan, ujian t dengan lebih daripada 30 darjah kebebasan boleh dianggar dengan ujian z.

    Contoh

    n = 50, x̄ = 103, s = 10, H1: μ ≠ 100, α = 5%: Z = 3/1.4142 = 2.121 > 1.96, tolak H0.

Peta alirContoh ujian min (t): populasi normal, n = 9, x̄ = 48, s = 3. Uji H0: μ = 50 lawan H1: μ < 50 pada aras 5%.

  1. T = (48 − 50)/(3/√9) = −2.
  2. t(0.05, 8) = 1.860, rantau genting T < −1.860.
  3. −2 < −1.860, tolak H0.
  4. Kesimpulan: min populasi kurang daripada 50.
SP 11.2.3

SP 11.2.4State the null and alternative hypotheses for a one-tailed or two-tailed hypothesis test concerning a population proportion;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)

Calon perlu menyatakan H0 dan H1 bagi ujian satu hujung atau dua hujung tentang kadaran populasi p.

  1. IsiUjian satu hujung bagi p
    Huraian

    H0: p = p0; H1: p < p0 atau p > p0 mengikut dakwaan.

    Contoh

    Dakwaan: kurang daripada 20% pelanggan tidak berpuas hati: H0: p = 0.2, H1: p < 0.2.

  2. IsiUjian dua hujung bagi p
    Huraian

    Jika soalan hanya bertanya sama ada kadaran berubah, guna H1: p ≠ p0.

    Contoh

    Kadaran pengundi muda dahulu 0.6; adakah ia berubah? H0: p = 0.6, H1: p ≠ 0.6.

SP 11.2.5Carry out a hypothesis test concerning a population proportion based on a large random sample.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Carry out (Menjalankan)

Calon perlu menjalankan ujian kadaran populasi bagi sampel besar dengan Z = (p̂ − p0)/√(p0q0/n) dan menulis kesimpulan dalam konteks.

  1. IsiUjian hujung kanan
    Huraian

    Ralat piawai dikira dengan p0 daripada H0, bukan p̂.

    Contoh

    n = 100, 38 berjaya, H1: p > 0.3, α = 5%: Z = 0.08/0.04583 = 1.746 > 1.645, tolak H0.

  2. IsiUjian hujung kiri: H0 tidak ditolak
    Huraian

    Jika statistik ujian di luar rantau genting, nyatakan tiada bukti yang cukup.

    Contoh

    n = 200, 90 berjaya, H1: p < 0.5, α = 5%: p̂ = 0.45, Z = −0.05/0.03536 = −1.414 > −1.645; H0 tidak ditolak.

Peta alirContoh ujian kadaran: n = 100, 38 berjaya. Uji H0: p = 0.3 lawan H1: p > 0.3 pada aras 5%.

  1. p̂ = 0.38; ralat piawai = √(0.3×0.7/100) = 0.04583.
  2. Z = (0.38 − 0.3)/0.04583 = 1.746.
  3. Nilai genting 1.645; 1.746 > 1.645, tolak H0.
  4. Kesimpulan: kadaran melebihi 0.3.
SP 11.2.5

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

MDK
Min (Z atau T), Dua hujung atau satu, Kadaran (Z) — tiga pilihan ujian

Kad imbas

Ujian dua hujung bagi min
H0: μ = μ0, H1: μ ≠ μ0
Statistik ujian Z bagi min
(x̄ − μ0)/(σ/√n)
Darjah kebebasan ujian t
n − 1
Statistik ujian kadaran
(p̂ − p0)/√(p0q0/n)
Nilai genting 5% satu hujung (z)
1.645

Semak kefahaman

  1. Sebuah kilang mendakwa min jisim beg beras ialah 5 kg; pengguna mengesyaki ia kurang. Nyatakan H0 dan H1. (SP 11.2.1)

    Lihat jawapan

    H0: μ = 5, H1: μ ＜ 5.

  2. σ = 8, n = 64, x̄ = 41.5, H0: μ = 40, H1: μ ≠ 40. Hitung statistik ujian Z. (SP 11.2.2)

    Lihat jawapan

    Z = (41.5 − 40)/(8/√64) = 1.5/1 = 1.5.

  3. n = 16, x̄ = 52, s = 4, H0: μ = 50, H1: μ ＞ 50. Hitung statistik ujian T. (SP 11.2.3)

    Lihat jawapan

    T = (52 − 50)/(4/√16) = 2/1 = 2, dengan 15 darjah kebebasan.

  4. Dahulu 30% pelanggan membeli secara dalam talian. Pengurus percaya kadaran itu telah meningkat. Nyatakan H0 dan H1. (SP 11.2.4)

    Lihat jawapan

    H0: p = 0.3, H1: p ＞ 0.3.

  5. n = 100, 60 berjaya, H0: p = 0.5, H1: p ＞ 0.5. Hitung Z. (SP 11.2.5)

    Lihat jawapan

    p̂ = 0.6; Z = (0.6 − 0.5)/√(0.5 × 0.5/100) = 0.1/0.05 = 2.

16 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Mengingat

    Aktiviti: Murid menyatakan hipotesis nol dan alternatif bagi lima situasi min dan proporsi, mengenal pasti ujian satu hujung atau dua hujung.

    Bukti hasil kerja: Kad hipotesis dan jawapan lisan.

    SP disasar: 11.2.1, 11.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menjalankan ujian z dan ujian t bagi min populasi serta ujian bagi proporsi, dengan statistik ujian, nilai genting dan kesimpulan dalam konteks.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja ujian hipotesis lengkap.

    SP disasar: 11.2.2, 11.2.3, 11.2.5 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis data sebenar kecil (contoh: masa menunggu di kantin) untuk memilih ujian z atau t dan menjustifikasi pilihan berdasarkan saiz sampel dan varians.

    Bukti hasil kerja: Jadual pemilihan ujian dan justifikasi.

    SP disasar: 11.2.2, 11.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menilai dakwaan syarikat tentang purata hayat produk menggunakan data sampel, membuat keputusan pada aras 5% dan menulis ulasan kritikal tentang had kesimpulan.

    Bukti hasil kerja: Laporan ringkas keputusan dan had kesimpulan.

    SP disasar: 11.2.2, 11.2.3, 11.2.5 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Hypothesis Testing

  1. 11.1 Elements of hypothesis testing
  2. 11.2 Hypothesis testing on a single population