Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Matrices and Systems of Linear Equations

3.2 Systems of linear equations

Unit ini meliputi penyelesaian sistem persamaan linear tiga pemboleh ubah menggunakan bentuk eselon baris (row-echelon form), penghapusan Gauss (Gaussian elimination) dan songsang matriks pekali.

  • STPM
  • 3 SP
  • 12 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 3.2.1Reduce an augmented matrix to row-echelon form to determine whether a system of linear equations in three variables has a unique solution, infinitely many solutions or no solution;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Reduce

Calon perlu menurunkan (reduce) matriks imbuhan kepada bentuk eselon baris dengan operasi baris, kemudian menentukan jenis penyelesaian sistem tiga pemboleh ubah. Pembentukan sistem daripada masalah berayat dikecualikan.

  1. IsiOperasi baris permulaan
    Huraian

    Tukar baris, darab baris dengan pemalar bukan sifar, atau tambah gandaan satu baris kepada baris lain sehingga unsur di bawah pelopor menjadi sifar.

    Contoh

    [1 2 1 | 4; 2 5 3 | 9; 1 3 3 | 7] → R2 − 2R1, R3 − R1 → [0 1 1 | 1; 0 1 2 | 3] → R3 − R2 → [0 0 1 | 2]: penyelesaian unik.

  2. IsiMembaca baris akhir
    Huraian

    (0 0 a | b), a ≠ 0: unik; (0 0 0 | 0): tak terhingga; (0 0 0 | k), k ≠ 0: tiada penyelesaian.

    Contoh

    Baris akhir (0 0 0 | 5) bermaksud 0 = 5, maka sistem tidak konsisten.

Peta pokokJenis penyelesaian daripada bentuk eselon baris

Matriks imbuhan (augmented matrix) dalam bentuk eselon baris
Penyelesaian unik (unique)
  • Setiap baris ada pemboleh ubah pelopor
  • Cth baris akhir (0 0 a | b), a ≠ 0
Penyelesaian tak terhingga (infinitely many)
  • Baris akhir (0 0 0 | 0)
  • Sistem konsisten, satu pemboleh ubah bebas (parameter t)
Tiada penyelesaian (no solution)
  • Baris akhir (0 0 0 | k), k ≠ 0
  • Sistem tidak konsisten
SP 3.2.1

Peta alirContoh: penghapusan Gauss bagi x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2

  1. Matriks imbuhan: [1 1 1 | 6; 2 −1 1 | 3; 1 2 −1 | 2]
  2. R2 − 2R1: [0 −3 −1 | −9]; R3 − R1: [0 1 −2 | −4]
  3. 3R3 + R2: [0 0 −7 | −21]
  4. Penggantian belakang: z = 3; −3y − 3 = −9, y = 2; x = 6 − 2 − 3 = 1
  5. Penyelesaian unik: x = 1, y = 2, z = 3
SP 3.2.2SP 3.2.1

SP 3.2.2Apply the Gaussian elimination to find the unique solution or infinitely many solutions of a consistent system of linear equations in three variables;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Apply

Calon perlu mengaplikasikan penghapusan Gauss (Gaussian elimination) dan penggantian belakang untuk mencari penyelesaian unik atau penyelesaian tak terhingga (dalam bentuk parameter).

  1. IsiPenyelesaian unik
    Huraian

    Selepas bentuk eselon, selesaikan z dahulu, kemudian y, kemudian x.

    Contoh

    Daripada [1 2 1 | 4; 0 1 1 | 1; 0 0 1 | 2]: z = 2, y = −1, x = 4 − 2(−1) − 2 = 4.

  2. IsiPenyelesaian tak terhingga
    Huraian

    Jika baris akhir menjadi sifar, biar satu pemboleh ubah = t dan ungkapkan yang lain dalam sebutan t.

    Contoh

    Eselon [1 1 1 | 3; 0 1 2 | 3; 0 0 0 | 0]: z = t, y = 3 − 2t, x = t.

Peta alirContoh: penyelesaian tak terhingga x + y + z = 3, x + 2y + 3z = 6, 2x + 3y + 4z = 9

  1. R2 − R1: [0 1 2 | 3]; R3 − 2R1: [0 1 2 | 3]
  2. R3 − R2: [0 0 0 | 0], sistem konsisten
  3. Biar z = t: y = 3 − 2t
  4. x = 3 − y − z = t
  5. Penyelesaian: (x, y, z) = (t, 3 − 2t, t), t ∈ ℝ
SP 3.2.2

SP 3.2.3Represent a system of linear equations in three variables by a matrix equation and use the inverse of the coefficient matrix to find the unique solution.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Represent

Calon perlu mewakilkan (represent) sistem tiga persamaan linear sebagai persamaan matriks AX = B, kemudian menggunakan A⁻¹ untuk mencari penyelesaian unik.

  1. IsiMembentuk AX = B
    Huraian

    Baris A = pekali x, y, z setiap persamaan (sebutan tiada = 0); B = lajur pemalar.

    Contoh

    x + 2z = 3, 2x + y = 3, y + z = 2 → A = [1 0 2; 2 1 0; 0 1 1], B = [3; 3; 2].

  2. IsiMenyelesaikan X = A⁻¹B
    Huraian

    Syarat |A| ≠ 0. Darab A⁻¹ dari kiri kedua-dua belah.

    Contoh

    A⁻¹ = (1/5)[1 2 −2; −2 1 4; 2 −1 1], X = (1/5)[5; 5; 5] = [1; 1; 1], iaitu x = y = z = 1.

NotaKaedah songsang matriks

Sistem ditulis sebagai AX = B dengan A matriks pekali, X = [x; y; z], B matriks pemalar. Jika |A| ≠ 0, X = A⁻¹B. Cth A = [1 0 2; 2 1 0; 0 1 1], B = [3; 3; 2], A⁻¹ = (1/5)[1 2 −2; −2 1 4; 2 −1 1], maka X = (1/5)[5; 5; 5] = [1; 1; 1].

SP 3.2.3

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

UTT
Jenis penyelesaian: Unik, Tak terhingga, Tiada.

Kad imbas

Baris (0 0 0 | 5) dalam eselon baris
Tiada penyelesaian
Baris (0 0 0 | 0)
Penyelesaian tak terhingga (jika sistem konsisten)
Penghapusan Gauss
Operasi baris permulaan hingga bentuk eselon baris, kemudian penggantian belakang
Kaedah songsang
X = A⁻¹B, perlu |A| ≠ 0

Semak kefahaman

  1. Baris akhir bentuk eselon baris ialah (0 0 0 | 4). Nyatakan jenis penyelesaian sistem. (SP 3.2.1)

    Lihat jawapan

    Tiada penyelesaian (sistem tidak konsisten) kerana baris itu bermaksud 0 = 4, iaitu mustahil.

  2. Selesaikan dengan penggantian belakang: x + y + z = 6, y + z = 4, z = 1. (SP 3.2.2)

    Lihat jawapan

    z = 1; y = 4 − 1 = 3; x = 6 − 3 − 1 = 2. Maka x = 2, y = 3, z = 1.

  3. Tuliskan sistem x + y = 3, y + 2z = 5, x − z = 0 sebagai AX = B dan nyatakan matriks A. (SP 3.2.3)

    Lihat jawapan

    A = [1 1 0; 0 1 2; 1 0 −1], X = [x; y; z], B = [3; 5; 0].

12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menghuraikan bentuk eselon baris (row-echelon form) bagi tiga contoh sistem yang telah dikurangkan dan menjelaskan secara lisan sama ada penyelesaian unik, tak terhingga atau tiada.

    Bukti hasil kerja: Penjelasan lisan dan jadual klasifikasi tiga contoh.

    SP disasar: 3.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menyelesaikan x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 dengan penghapusan Gauss (Gaussian elimination) dan menulis langkah operasi baris dengan jelas.

    Bukti hasil kerja: Penyelesaian langkah demi langkah dan semakan penggantian.

    SP disasar: 3.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis sistem berparameter k dan menentukan nilai k yang menghasilkan penyelesaian unik, tak terhingga atau tiada, dengan membandingkan bentuk eselon baris.

    Bukti hasil kerja: Analisis nilai k dengan jadual kes bagi setiap jenis penyelesaian.

    SP disasar: 3.2.1, 3.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid mewakili sistem tiga pemboleh ubah sebagai AX = B, menyelesaikannya dengan A⁻¹, lalu membandingkan kecekapan kaedah matriks songsang dengan penghapusan Gauss dan menilai pilihan terbaik.

    Bukti hasil kerja: Penyelesaian dua kaedah dan ulasan perbandingan.

    SP disasar: 3.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Matrices and Systems of Linear Equations

  1. 3.1 Matrices
  2. 3.2 Systems of linear equations