4.1 Limits
Unit ini membincangkan had (limit) fungsi apabila x menghampiri a, sifat-sifat had, dan had pada infiniti atau negatif infiniti.
SP 4.1.1Determine whether the limit of f(x) exists as x approaches a and state its value if it exists;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Determine
Calon perlu menentukan (determine) sama ada had f(x) wujud apabila x → a dengan membandingkan had kiri dan had kanan, dan menyatakan nilainya jika wujud.
- IsiHad kiri dan had kananHuraian
Had wujud jika lim (x→a⁻) f(x) = lim (x→a⁺) f(x). Penting bagi fungsi cebis demi cebis dan fungsi modulus.
Contohf(x) = 2x (x < 3), f(x) = x + 4 (x ≥ 3): had kiri 6, had kanan 7, maka had pada x = 3 tidak wujud.
- IsiMenyatakan nilai hadHuraian
Jika kedua-dua had sepihak sama, nilai sepunya itulah had, walaupun f(a) berbeza atau tidak tertakrif.
Contohf(x) = x² (x ≠ 2), f(2) = 10: lim (x→2) f(x) = 4 walaupun f(2) = 10.
NotaKewujudan had
lim (x→a) f(x) = L wujud jika had kiri (left-hand limit) lim (x→a⁻) f(x) dan had kanan (right-hand limit) lim (x→a⁺) f(x) kedua-duanya wujud dan sama dengan L. Cth f(x) = |x|/x: had kiri pada 0 ialah −1, had kanan ialah 1, maka lim (x→0) f(x) tidak wujud.
SP 4.1.2Use the properties of the limits of functions;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use
Calon perlu menggunakan sifat had (hasil tambah, darab, bahagi, gandaan pemalar) termasuk memfaktorkan bentuk tak tentu 0/0.
- IsiSifat hadHuraian
Had hasil tambah/darab/bahagi = hasil tambah/darab/bahagi had (penyebut bukan sifar).
Contohlim (x→1) (x² + 3x)/(x + 1) = (1 + 3)/2 = 2.
- IsiBentuk 0/0Huraian
Faktorkan dan batalkan faktor sepunya sebelum menggantikan nilai.
Contohlim (x→−1) (x² − 1)/(x + 1) = lim (x − 1) = −2.
JadualSifat had
| Sifat | Rumus |
|---|---|
| Pemalar | lim k = k |
| Hasil tambah/tolak | lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) |
| Gandaan pemalar | lim kf(x) = k lim f(x) |
| Hasil darab | lim f(x)g(x) = lim f(x) × lim g(x) |
| Hasil bahagi | lim f(x)/g(x) = lim f(x) / lim g(x), jika lim g(x) ≠ 0 |
Peta alirContoh: lim (x→2) (x² − 4)/(x − 2)
- Gantian terus memberi 0/0 (bentuk tak tentu)
- Faktorkan: (x − 2)(x + 2)/(x − 2)
- Permudah: x + 2, x ≠ 2
- Had = 2 + 2 = 4
SP 4.1.3Find the limit at infinity or negative infinity of a function.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find
Calon perlu mencari had apabila x → ∞ atau x → −∞ bagi fungsi nisbah, eksponen dan seumpamanya.
- IsiFungsi nisbahHuraian
Bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa tertinggi x dalam penyebut; 1/xⁿ → 0.
Contohlim (x→∞) (4x − 1)/(2x + 5) = 4/2 = 2.
- IsiFungsi eksponenHuraian
eˣ → 0 apabila x → −∞; e⁻ˣ → 0 apabila x → ∞.
Contohlim (x→∞) (3 + 2e⁻ˣ) = 3; lim (x→−∞) 5eˣ = 0.
Peta alirContoh: lim (x→∞) (3x² + 1)/(2x² − x)
- Bahagi pengangka dan penyebut dengan x²
- (3 + 1/x²)/(2 − 1/x)
- Apabila x → ∞, 1/x → 0 dan 1/x² → 0
- Had = 3/2
Peta buihHad pada infiniti
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- KKS
- Had wujud: Kiri sama Kanan, Sama dengan L.
Kad imbas
- Syarat had wujud
- Had kiri = had kanan
- lim (x→a) [f(x) + g(x)]
- lim f(x) + lim g(x)
- Bentuk 0/0
- Faktorkan dan permudah dahulu
- lim (x→∞) 1/x
- 0
- lim (x→−∞) eˣ
- 0
Semak kefahaman
Diberi f(x) = x² (x ＜ 2) dan f(x) = 3x − 2 (x ≥ 2). Tentukan sama ada lim (x→2) f(x) wujud. (SP 4.1.1)
Lihat jawapan
Had kiri = 2² = 4, had kanan = 3(2) − 2 = 4; kedua-duanya sama, maka had wujud dan bernilai 4.
Nilaikan lim (x→3) (2x² − x). (SP 4.1.2)
Lihat jawapan
Gantikan x = 3: 2(9) − 3 = 15.
Nilaikan lim (x→∞) (5x + 3)/(x − 2). (SP 4.1.3)
Lihat jawapan
Bahagi dengan x: (5 + 3/x)/(1 − 2/x) menghampiri 5/1 = 5.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid melengkapkan jadual nilai f(x) yang menghampiri a dari kiri dan kanan menggunakan kalkulator, lalu menyatakan sama ada had (limit) wujud dan nilainya.
Bukti hasil kerja: Jadual nilai dan pernyataan wujud atau tidaknya had.
SP disasar: 4.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menggunakan sifat had (limit laws) untuk menilai had hasil tambah, hasil darab dan hasil bahagi, serta had pada infiniti bagi fungsi nisbah dengan membahagi darjah tertinggi.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja langkah dan sifat had yang dinamakan.
SP disasar: 4.1.2, 4.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memplot fungsi berbeza di sekitar satu titik dengan perisian graf, menganalisis had kiri dan kanan, dan mengelaskan had sebagai wujud, tidak wujud atau menuju infiniti.
Bukti hasil kerja: Jadual klasifikasi had dengan alasan berasaskan graf.
SP disasar: 4.1.1, 4.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai tiga dakwaan salah faham lazim tentang had (contohnya had sama dengan nilai fungsi) dan mewajarkan sama ada setiap dakwaan betul dengan contoh balas.
Bukti hasil kerja: Respons bertulis dengan contoh balas bagi setiap dakwaan.
SP disasar: 4.1.1, 4.1.2 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.