Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Integration

6.3 Areas between curves, and consumer and producer surpluses

Unit ini mengaplikasikan kamiran tentu untuk mengira luas rantau di antara lengkung, serta lebihan pengguna (consumer surplus) dan lebihan pengeluar (producer surplus).

  • STPM
  • 2 SP
  • 11 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 6.3.1Calculate the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the coordinate axes, enclosed by a curve and a line, or enclosed by two curves;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate

Calon perlu mengira luas rantau yang dibatasi lengkung dan garis selari paksi, lengkung dan garis lurus, atau dua lengkung.

  1. IsiLengkung dan garis selari paksi
    Huraian

    Luas = ∫ₐᵇ y dx (rantau dengan paksi-x) atau ∫ x dy (rantau dengan paksi-y); bahagian di bawah paksi diambil nilai mutlak.

    Contoh

    Luas di bawah y = x² + 1 dari x = 0 hingga x = 3: [x³/3 + x]₀³ = 12 unit².

  2. IsiLengkung dan garis / dua lengkung
    Huraian

    Cari titik persilangan, tentukan fungsi atas dan bawah, kamirkan (atas − bawah).

    Contoh

    y = 4x − x² dan y = x: persilangan x = 0, 3; luas = ∫₀³ (3x − x²) dx = 27/2 − 9 = 4.5 unit².

JadualRumus luas

RantauLuas
Lengkung y = f(x), paksi-x, x = a hingga x = b (f ≥ 0)∫ₐᵇ f(x) dx
Lengkung x = g(y), paksi-y, y = c hingga y = d∫ g(y) dy dari y = c hingga y = d
Di antara dua lengkung, f(x) ≥ g(x)∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
Rantau di bawah paksi-xAmbil nilai mutlak kamiran
SP 6.3.1

Peta alirContoh: luas di antara y = x dan y = x²

  1. Titik persilangan: x² = x, x = 0 atau x = 1
  2. Bagi 0 ≤ x ≤ 1, x ≥ x²
  3. Luas = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹
  4. = 1/2 − 1/3 = 1/6 unit²
SP 6.3.1

SP 6.3.2Calculate and interpret consumer surplus and producer surplus.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate

Calon perlu mengira dan mentafsir (interpret) lebihan pengguna dan lebihan pengeluar; persamaan permintaan atau penawaran dengan q dalam sebutan p dikecualikan.

  1. IsiMengira CS dan PS
    Huraian

    Cari keseimbangan (q₀, p₀). CS = ∫₀^q₀ D(q) dq − p₀q₀; PS = p₀q₀ − ∫₀^q₀ S(q) dq.

    Contoh

    D: p = 30 − q, S: p = 6 + 2q: q₀ = 8, p₀ = 22. CS = (240 − 32) − 176 = RM32; PS = 176 − (48 + 64) = RM64.

  2. IsiMentafsir
    Huraian

    CS = jumlah penjimatan pengguna yang sanggup membayar lebih daripada p₀; PS = jumlah faedah pengeluar yang sanggup menjual di bawah p₀.

    Contoh

    CS = RM32 bermaksud pembeli secara kolektif membayar RM32 kurang daripada jumlah maksimum yang sanggup mereka bayar.

Peta buih bergandaLebihan pengguna berbanding lebihan pengeluar

Lebihan pengguna (CS)CS = ∫₀^q₀ D(q) dq − p₀q₀Luas di bawah lengkung permintaan dan di atas p = p₀Penjimatan pengguna yang sanggup membayar lebih
PersamaanDikira pada titik keseimbangan (q₀, p₀)Diwakili luas rantau pada graf harga-kuantiti
Lebihan pengeluar (PS)PS = p₀q₀ − ∫₀^q₀ S(q) dqLuas di atas lengkung penawaran dan di bawah p = p₀Faedah pengeluar yang sanggup menjual lebih murah
SP 6.3.2

Peta alirContoh: permintaan p = 50 − q², penawaran p = 10 + 3q

  1. Keseimbangan: 50 − q² = 10 + 3q, q² + 3q − 40 = 0, (q + 8)(q − 5) = 0, q₀ = 5, p₀ = 25
  2. CS = ∫₀⁵ (50 − q²) dq − 25(5) = (250 − 125/3) − 125 = 250/3 ≈ RM83.33
  3. PS = 25(5) − ∫₀⁵ (10 + 3q) dq = 125 − (50 + 37.5) = RM37.50
  4. Tafsiran: pengguna secara kolektif menjimat RM83.33, pengeluar mendapat faedah RM37.50
SP 6.3.2

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

ATB
Luas antara lengkung: Atas Tolak Bawah, kemudian kamir dari titik persilangan.

Kad imbas

Luas antara dua lengkung
∫ₐᵇ [atas − bawah] dx
Luas antara y = x dan y = x²
1/6 unit²
Lebihan pengguna
∫₀^q₀ D(q) dq − p₀q₀
Lebihan pengeluar
p₀q₀ − ∫₀^q₀ S(q) dq

Semak kefahaman

  1. Hitung luas rantau di bawah y = 2x dari x = 1 hingga x = 3. (SP 6.3.1)

    Lihat jawapan

    ∫₁³ 2x dx = [x²]₁³ = 9 − 1 = 8 unit².

  2. Permintaan p = 20 − q dengan keseimbangan q₀ = 8 dan p₀ = 12. Hitung lebihan pengguna. (SP 6.3.2)

    Lihat jawapan

    CS = ∫₀⁸ (20 − q) dq − 12(8) = (160 − 32) − 96 = RM32.

11 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan bagaimana luas rantau dikira melalui kamiran dan memilih had yang betul bagi rantau di antara lengkung dan paksi atau di antara dua lengkung.

    Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan lakaran rantau berlorek.

    SP disasar: 6.3.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mengira luas rantau di bawah lengkung, antara lengkung dan garis serta antara dua lengkung, termasuk mencari titik persilangan sebagai had kamiran.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja luas rantau.

    SP disasar: 6.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memplot lengkung permintaan dan penawaran, mencari kuantiti dan harga keseimbangan, dan menganalisis rantau lebihan pengguna dan pengeluar (consumer and producer surplus).

    Bukti hasil kerja: Graf keseimbangan dan rantau berlorek.

    SP disasar: 6.3.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid mengira lebihan pengguna dan pengeluar bagi satu pasaran, menilai kesan kawalan harga siling pada lebihan tersebut dan menulis kesimpulan.

    Bukti hasil kerja: Pengiraan lebihan dan ulasan kesan harga siling.

    SP disasar: 6.3.2 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Integration

  1. 6.1 Indefinite and definite integrals
  2. 6.2 Techniques of integration
  3. 6.3 Areas between curves, and consumer and producer surpluses