6.1 Indefinite and definite integrals
Unit ini meliputi kamiran tak tentu (indefinite integral) fungsi xⁿ dan eˣ, kamiran gubahan dengan fungsi linear, dan kamiran tentu (definite integral) sebagai had hasil tambah.
SP 6.1.1Integrate xⁿ, where n ∈ ℚ, and eˣ with constant multiples, sums and differences;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Integrate
Calon perlu mengamirkan xⁿ (n nisbah) dan eˣ, dengan gandaan pemalar, hasil tambah dan hasil tolak.
- IsiKamiran xⁿHuraian
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + c (n ≠ −1); ∫ x⁻¹ dx = ln|x| + c.
Contoh∫ (3x² − 4/x²) dx = x³ + 4/x + c.
- IsiKamiran eˣ dan gabunganHuraian
∫ eˣ dx = eˣ + c; kamirkan sebutan demi sebutan.
Contoh∫ (2eˣ + x^(1/3)) dx = 2eˣ + (3/4)x^(4/3) + c.
JadualKamiran asas
| Fungsi | Kamiran |
|---|---|
| xⁿ, n ≠ −1 | xⁿ⁺¹/(n + 1) + c |
| 1/x | ln|x| + c |
| eˣ | eˣ + c |
| (ax + b)ⁿ, n ≠ −1 | (ax + b)ⁿ⁺¹/[a(n + 1)] + c |
| 1/(ax + b) | (1/a) ln|ax + b| + c |
| e^(ax + b) | (1/a) e^(ax + b) + c |
Peta buih bergandaKamiran tak tentu berbanding kamiran tentu
SP 6.1.2Integrate the composite of any function in (a) and a linear function;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Integrate
Calon perlu mengamirkan gubahan fungsi dalam 6.1.1 (xⁿ, eˣ) dengan fungsi linear ax + b.
- IsiBentuk (ax + b)ⁿHuraian
∫ (ax + b)ⁿ dx = (ax + b)ⁿ⁺¹/[a(n + 1)] + c; bagi n = −1, (1/a) ln|ax + b| + c.
Contoh∫ (2x − 1)^(1/2) dx = (2x − 1)^(3/2)/3 + c.
- IsiBentuk e^(ax + b)Huraian
∫ e^(ax + b) dx = (1/a)e^(ax + b) + c.
Contoh∫ 6e^(3x + 2) dx = 2e^(3x + 2) + c.
SP 6.1.3Define a definite integral as a limit of sum and evaluate definite integrals.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Define
Calon perlu mentakrif kamiran tentu sebagai had hasil tambah luas jalur dan menilai kamiran tentu menggunakan F(b) − F(a).
- IsiHad hasil tambahHuraian
Bahagi [a, b] kepada n jalur selebar Δx; ∫ₐᵇ f(x) dx = lim (n→∞) ∑ f(xᵢ)Δx.
ContohBagi ∫₀¹ x dx dengan n jalur hujung kanan: ∑ (i/n)(1/n) = (n + 1)/(2n) → 1/2.
- IsiMenilai kamiran tentuHuraian
Cari antiterbitan F, kemudian F(b) − F(a); tiada pemalar c.
Contoh∫₀² (3x² + eˣ) dx = [x³ + eˣ]₀² = (8 + e²) − 1 = 7 + e² ≈ 14.389.
NotaKamiran tentu sebagai had hasil tambah
Bahagikan [a, b] kepada n jalur selebar Δx = (b − a)/n. ∫ₐᵇ f(x) dx = lim (n→∞) ∑ f(xᵢ)Δx. Teorem asas kalkulus: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), dengan F′(x) = f(x).
Peta alirContoh: nilaikan ∫₁³ (2x + 1) dx
- Kamirkan: ∫ (2x + 1) dx = x² + x
- Gantikan had: [x² + x]₁³ = (9 + 3) − (1 + 1)
- = 12 − 2 = 10
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- TBA
- Kamiran xⁿ: Tambah satu pada kuasa, Bahagi dengan kuasa baharu, Akhiri dengan + c.
Kad imbas
- ∫ xⁿ dx
- xⁿ⁺¹/(n + 1) + c, n ≠ −1
- ∫ eˣ dx
- eˣ + c
- ∫ (ax + b)ⁿ dx
- (ax + b)ⁿ⁺¹/[a(n + 1)] + c
- ∫ₐᵇ f(x) dx
- lim ∑ f(xᵢ)Δx = F(b) − F(a)
Semak kefahaman
Kamirkan ∫ (4x³ + 6x) dx. (SP 6.1.1)
Lihat jawapan
∫ (4x³ + 6x) dx = x⁴ + 3x² + c.
Kamirkan ∫ (4x + 1)³ dx. (SP 6.1.2)
Lihat jawapan
∫ (4x + 1)³ dx = (4x + 1)⁴/[4(4)] + c = (4x + 1)⁴/16 + c.
Nilaikan ∫₀² (x² + 1) dx. (SP 6.1.3)
Lihat jawapan
[x³/3 + x]₀² = 8/3 + 2 = 14/3 ≈ 4.667.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menulis jadual kamiran asas x^n dan e^x serta peraturan gubahan linear (ax + b), dan menguji ingatan melalui kuiz kilat berpasangan.
Bukti hasil kerja: Jadual kamiran dan jawapan kuiz.
SP disasar: 6.1.1, 6.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengamiri fungsi seperti 3x² − 4x + 1/x² dan (2x − 1)⁴, serta menilai kamiran tentu dengan had atas dan bawah.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kamiran tak tentu dan tentu.
SP disasar: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganggar luas di bawah lengkung dengan hasil tambah segi empat tepat pada hamparan dan menganalisis bagaimana bilangan segi empat tepat menghampiri nilai kamiran tentu (limit of sum).
Bukti hasil kerja: Jadual anggaran dan perbandingan kamiran tentu.
SP disasar: 6.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai tiga langkah kamiran yang mengandungi kesilapan lazim (contoh: lupa pemalar c dan pengganda 1/a) dan menulis pembetulan.
Bukti hasil kerja: Pembetulan bertulis dan penjelasan kesilapan.
SP disasar: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.