8.2 Binomial and Poisson distributions
Unit ini meliputi taburan binomial (binomial distribution) dan taburan Poisson (Poisson distribution): syarat, fungsi taburan kebarangkalian, serta min dan variansnya.
SP 8.2.1State the conditions under which a random variable has a binomial distribution as a probability model, and use the binomial probability distribution function;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas State
Calon perlu menyatakan syarat taburan binomial sebagai model kebarangkalian dan menggunakan fungsi P(X = r) = ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ.
- IsiSyarat binomialHuraian
n percubaan tetap; setiap percubaan dua kesudahan; p malar; percubaan tak bersandar.
ContohBilangan pelanggan daripada 8 yang membayar dengan e-dompet (p = 0.3) ialah B(8, 0.3).
- IsiMenggunakan fungsi binomialHuraian
Gantikan n, p, r; untuk 'sekurang-kurangnya', guna pelengkap.
ContohX ~ B(8, 0.3): P(X = 0) = 0.7⁸ ≈ 0.0576; P(X ≥ 1) ≈ 0.9424.
Peta buih bergandaTaburan binomial berbanding Poisson
JadualRumus
| Taburan | P(X = r) | Min | Varians |
|---|---|---|---|
| B(n, p) | ⁿCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ, q = 1 − p | np | npq |
| Po(λ) | e^(−λ) λʳ/r! | λ | λ |
Peta alirContoh binomial: X ~ B(10, 0.2)
- P(X = 2) = ¹⁰C₂(0.2)²(0.8)⁸
- = 45 × 0.04 × 0.16777
- ≈ 0.3020
- Min = np = 2; varians = npq = 10(0.2)(0.8) = 1.6
SP 8.2.2Find and use the mean and variance of a binomial distribution;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find
Calon perlu mencari dan menggunakan min np dan varians npq taburan binomial.
- IsiMengira min dan variansHuraian
E(X) = np, Var(X) = npq.
ContohX ~ B(50, 0.1): min 5, varians 4.5, sisihan piawai ≈ 2.121.
- IsiMencari n dan pHuraian
Bahagi varians dengan min untuk q.
ContohMin 6, varians 4.2: q = 0.7, p = 0.3, n = 20.
SP 8.2.3State the conditions under which a random variable has a Poisson distribution as a probability model, and use the Poisson probability distribution function;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas State
Calon perlu menyatakan syarat taburan Poisson dan menggunakan fungsi P(X = r) = e^(−λ)λʳ/r!. Penghampiran Poisson kepada binomial dikecualikan.
- IsiSyarat PoissonHuraian
Peristiwa berlaku secara rawak, tak bersandar, satu demi satu, pada kadar purata malar dalam selang masa atau ruang.
ContohBilangan pelanggan tiba di kaunter bank dalam 10 minit (purata 4) ialah Po(4).
- IsiMenggunakan fungsi PoissonHuraian
Kira P(X = r); λ berkadaran dengan panjang selang.
ContohX ~ Po(4): P(X = 2) = e⁻⁴(16)/2 ≈ 0.1465; P(X ≤ 1) = e⁻⁴(1 + 4) ≈ 0.0916.
Peta alirContoh Poisson: purata 3 panggilan sejam
- X ~ Po(3), min = varians = 3
- P(X = 0) = e⁻³ ≈ 0.0498
- P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2! ≈ 0.2240
- Bagi setengah jam, λ = 1.5 (kadar berkadaran dengan selang)
SP 8.2.4Find and use the mean and variance of a Poisson distribution.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find
Calon perlu mencari dan menggunakan min dan varians taburan Poisson (kedua-duanya λ).
- IsiMin = varians = λHuraian
Bagi Po(λ), E(X) = Var(X) = λ; sisihan piawai √λ.
ContohPurata 9 aduan seminggu: varians 9, sisihan piawai 3.
- IsiMenukar selangHuraian
Skala λ ikut panjang selang baharu.
ContohPurata 9 aduan seminggu (7 hari): bagi 14 hari λ = 18, maka min dan varians = 18.
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- NDPT
- Syarat binomial: N tetap, Dua kesudahan, P malar, Tak bersandar.
Kad imbas
- Syarat binomial
- n tetap, dua kesudahan, p malar, percubaan tak bersandar
- Min dan varians B(n, p)
- np dan npq
- Syarat Poisson
- Rawak, tak bersandar, kadar purata malar, satu demi satu
- Min dan varians Po(λ)
- Kedua-duanya λ
Semak kefahaman
Nyatakan dua syarat bagi taburan binomial. (SP 8.2.1)
Lihat jawapan
Bilangan percubaan n tetap; setiap percubaan ada dua kesudahan; kebarangkalian kejayaan p malar; percubaan tak bersandar.
X ~ B(20, 0.3). Hitung min dan varians X. (SP 8.2.2)
Lihat jawapan
Min = np = 20(0.3) = 6; varians = npq = 6(0.7) = 4.2.
X ~ Po(3). Hitung P(X = 1), betul kepada 4 tempat perpuluhan. (SP 8.2.3)
Lihat jawapan
P(X = 1) = e⁻³(3)/1! = 3(0.04979) = 0.1494.
Purata 6 kemalangan sebulan. Nyatakan min dan varians bilangan kemalangan dalam 2 bulan. (SP 8.2.4)
Lihat jawapan
λ = 6 × 2 = 12, maka min = varians = 12.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menyenaraikan syarat taburan binomial (binomial) dan Poisson (Poisson) pada kad, kemudian memadankan situasi harian dengan taburan yang sesuai.
Bukti hasil kerja: Kad syarat dan padanan situasi.
SP disasar: 8.2.1, 8.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menggunakan fungsi kebarangkalian binomial untuk bilangan unit rosak dalam sampel dan Poisson untuk bilangan panggilan sejam, serta mengira min dan varians.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan P(X = r), min dan varians.
SP disasar: 8.2.1, 8.2.2, 8.2.3, 8.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan data sebenar kiraan kejadian dengan taburan Poisson yang dipadankan menggunakan hamparan dan menganalisis sama ada syarat dipenuhi.
Bukti hasil kerja: Hamparan data dan ulasan kesesuaian model.
SP disasar: 8.2.3, 8.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada binomial atau Poisson lebih sesuai bagi tiga situasi dan mewajarkan pilihan dengan merujuk syarat taburan.
Bukti hasil kerja: Jadual keputusan dan justifikasi bertulis.
SP disasar: 8.2.1, 8.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.