9.1 Continuous random variables
Unit ini meliputi pemboleh ubah rawak selanjar (continuous random variable), fungsi ketumpatan kebarangkalian (probability density function), fungsi taburan longgokan, serta min dan varians termasuk bagi aX + b.
SP 9.1.1Identify a continuous random variable and its probability density function;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Identify
Calon perlu mengenal pasti pemboleh ubah rawak selanjar dan fungsi ketumpatan kebarangkaliannya (f(x) ≥ 0, ∫ f(x) dx = 1).
- IsiPemboleh ubah selanjarHuraian
Nilai dalam selang hasil pengukuran; P(X = a) = 0.
ContohMasa (minit) menyiapkan pesanan ialah selanjar.
- IsiFungsi ketumpatan yang sahHuraian
f(x) ≥ 0 dalam julat dan luas keseluruhan = 1; gunakan untuk mencari pemalar.
Contohf(x) = k(4 − x), 0 ≤ x ≤ 4: k[4x − x²/2]₀⁴ = 8k = 1, k = 1/8.
NotaFungsi ketumpatan kebarangkalian
Pemboleh ubah rawak selanjar X mengambil sebarang nilai dalam suatu selang (cth masa, jisim). Fungsi ketumpatan f(x) memenuhi f(x) ≥ 0 dan ∫ f(x) dx = 1 meliputi seluruh julat. P(X = a) = 0 bagi sebarang a.
Peta alirContoh: f(x) = kx, 0 ≤ x ≤ 2
- ∫₀² kx dx = 2k = 1, maka k = 1/2
- P(X < 1) = ∫₀¹ x/2 dx = 1/4
- E(X) = ∫₀² x(x/2) dx = [x³/6]₀² = 4/3
- E(X²) = ∫₀² x³/2 dx = [x⁴/8]₀² = 2
- Var(X) = 2 − (4/3)² = 2/9
- E(2X + 1) = 11/3; Var(2X + 1) = 4(2/9) = 8/9
SP 9.1.2Determine the probability density function of a continuous random variable given its cumulative distribution function;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Determine
Calon perlu menentukan fungsi ketumpatan f(x) daripada fungsi taburan longgokan F(x) dengan membezakan.
- Isif(x) = F′(x)Huraian
Bezakan F(x) bagi setiap cebis selang; f(x) = 0 di luar julat.
ContohF(x) = (x² − 1)/8, 1 ≤ x ≤ 3: f(x) = x/4 bagi 1 ≤ x ≤ 3, 0 di tempat lain.
- IsiSemakanHuraian
F menokok dari 0 hingga 1; ∫ f(x) dx keseluruhan = 1.
Contoh∫₁³ x/4 dx = (9 − 1)/8 = 1, sah.
Peta buih bergandaFungsi ketumpatan f(x) berbanding fungsi taburan longgokan F(x)
Peta alirContoh: f(x) daripada F(x) = x³/8, 0 ≤ x ≤ 2
- Bezakan: f(x) = F′(x) = 3x²/8 bagi 0 ≤ x ≤ 2
- f(x) = 0 di luar selang itu
- Semak: ∫₀² 3x²/8 dx = 8/8 = 1
SP 9.1.3Use the probability density function or cumulative distribution function of a continuous random variable to find the probability of an event;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use
Calon perlu menggunakan fungsi ketumpatan atau fungsi taburan longgokan untuk mencari kebarangkalian peristiwa.
- IsiMenggunakan f(x)Huraian
P(a < X < b) = ∫ₐᵇ f(x) dx.
Contohf(x) = (4 − x)/8, 0 ≤ x ≤ 4: P(X < 2) = [4x − x²/2]₀²/8 = 6/8 = 3/4.
- IsiMenggunakan F(x)Huraian
P(a < X < b) = F(b) − F(a); P(X > a) = 1 − F(a).
ContohF(x) = (x² − 1)/8, 1 ≤ x ≤ 3: P(X > 2) = 1 − 3/8 = 5/8.
SP 9.1.4Calculate the mean and variance of a continuous random variable X and its linear transformations aX + b.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Calculate
Calon perlu mengira min dan varians pemboleh ubah rawak selanjar X dan penjelmaan linear aX + b.
- IsiMin dan variansHuraian
E(X) = ∫ x f(x) dx; Var(X) = ∫ x² f(x) dx − [E(X)]².
Contohf(x) = 3x²/8, 0 ≤ x ≤ 2: E(X) = [3x⁴/32]₀² = 3/2; E(X²) = [3x⁵/40]₀² = 12/5; Var(X) = 12/5 − 9/4 = 3/20.
- IsiPenjelmaan linearHuraian
E(aX + b) = aE(X) + b; Var(aX + b) = a²Var(X).
ContohKos Y = 4X + 10: E(Y) = 16; Var(Y) = 16(3/20) = 2.4.
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- BKF
- Bezakan F untuk dapat f; Kamirkan f untuk dapat F; Fungsi luas jumlahnya satu.
Kad imbas
- Syarat f(x)
- f(x) ≥ 0, ∫ f(x) dx = 1
- f(x) daripada F(x)
- f(x) = F′(x)
- P(a < X < b)
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
- E(X) selanjar
- ∫ x f(x) dx
- P(X = a) bagi X selanjar
- 0
Semak kefahaman
Nyatakan dua syarat bagi fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x). (SP 9.1.1)
Lihat jawapan
f(x) ≥ 0 bagi semua x, dan luas keseluruhan di bawah graf (kamiran f(x)) sama dengan 1.
F(x) = x²/9 bagi 0 ≤ x ≤ 3. Cari f(x). (SP 9.1.2)
Lihat jawapan
f(x) = F′(x) = 2x/9 bagi 0 ≤ x ≤ 3, dan 0 di tempat lain.
f(x) = x/2, 0 ≤ x ≤ 2. Hitung P(X ＜ 1). (SP 9.1.3)
Lihat jawapan
P(X ＜ 1) = ∫₀¹ x/2 dx = [x²/4]₀¹ = 1/4.
f(x) = x/2, 0 ≤ x ≤ 2. Hitung E(X). (SP 9.1.4)
Lihat jawapan
E(X) = ∫₀² x(x/2) dx = [x³/6]₀² = 8/6 = 4/3.
13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan beza fungsi ketumpatan kebarangkalian (probability density function) dengan jadual taburan diskret dan menyatakan syarat f(x) ≥ 0 serta luas jumlah = 1.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan senarai syarat fungsi ketumpatan.
SP disasar: 9.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengintegrasi f(x) untuk mencari nilai pemalar k, mengira P(a < X < b) dan memperoleh fungsi taburan longgokan F(x) daripada f(x).
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja integrasi dan nilai k.
SP disasar: 9.1.1, 9.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menerbitkan f(x) daripada F(x) bagi fungsi cebis demi cebis, dan mengira min serta varians X dan aX + b, kemudian membandingkan hasil.
Bukti hasil kerja: Terbitan f(x) dan jadual min serta varians.
SP disasar: 9.1.2, 9.1.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada tiga fungsi yang diberi ialah fungsi ketumpatan sah, mewajarkan keputusan dengan syarat dan pengiraan.
Bukti hasil kerja: Justifikasi bertulis bagi setiap fungsi.
SP disasar: 9.1.1, 9.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.