Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Differential Equations

10.1 First-order differential equations with separable variables

Anda akan menyelesaikan persamaan pembezaan peringkat pertama (first-order differential equation) dengan pemboleh ubah boleh dipisahkan (separable variables), mentafsir penyelesaiannya dalam masalah sebenar dan menggunakan gantian yang diberi.

  • STPM
  • 3 SP
  • 12 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 10.1.1Find the general solution and a particular solution of a first-order differential equation with separable variables;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (Mencari)

Calon perlu mencari penyelesaian am (general solution) yang mengandungi pemalar sembarangan dan penyelesaian khusus (particular solution) yang memenuhi syarat awal bagi persamaan pembezaan boleh dipisahkan.

  1. IsiMemisahkan pemboleh ubah
    Huraian

    Tulis dy/dx = f(x)g(y) sebagai (1/g(y)) dy = f(x) dx, kemudian kamirkan kedua-dua belah dan tambah satu pemalar c sahaja.

    Contoh

    dy/dx = 2x/y: y dy = 2x dx, y²/2 = x² + c, maka y² = 2x² + C.

  2. IsiPenyelesaian khusus
    Huraian

    Gantikan syarat awal ke dalam penyelesaian am untuk menentukan nilai pemalar, lalu tulis jawapan tanpa c.

    Contoh

    dy/dx = 3x², y = 1 apabila x = 0: y = x³ + c, c = 1, jadi y = x³ + 1.

NotaBentuk boleh dipisahkan

Persamaan dy/dx = f(x)g(y) boleh ditulis sebagai (1/g(y)) dy = f(x) dx. Kamirkan kedua-dua belah: ∫ 1/g(y) dy = ∫ f(x) dx + c. Penyelesaian am (general solution) mengandungi pemalar sembarangan c; penyelesaian khusus (particular solution) diperoleh apabila syarat awal (initial condition) digunakan untuk mencari c.

SP 10.1.1

Peta alirContoh: Selesaikan dy/dx = xy, y = 2 apabila x = 0

  1. Pisahkan: (1/y) dy = x dx
  2. Kamirkan: ln|y| = x²/2 + c
  3. Tulis semula: y = Ae^(x²/2), dengan A = e^c
  4. Guna x = 0, y = 2: A = 2
  5. Penyelesaian khusus: y = 2e^(x²/2)
SP 10.1.1

Peta pokokPenyelesaian persamaan pembezaan

Penyelesaian
Penyelesaian am
  • Ada pemalar sembarangan c
  • Mewakili satu keluarga lengkung
Penyelesaian khusus
  • Guna syarat awal
  • Satu lengkung tertentu
Tafsiran model
  • k > 0: tumbuh
  • k < 0: susut
  • Had apabila t → ∞
SP 10.1.1SP 10.1.2

SP 10.1.2Find and interpret the solution of a first-order differential equation with separable variables in the context of a problem modelled by the differential equation;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (Mencari)

Calon perlu menyelesaikan persamaan pembezaan boleh dipisahkan yang SUDAH diberi sebagai model masalah, kemudian mentafsir maksud penyelesaian dalam konteks (pembentukan persamaan tidak diperlukan).

  1. IsiMenyelesaikan model yang diberi
    Huraian

    Pisahkan pemboleh ubah, kamirkan dan guna keadaan awal masalah untuk mendapat penyelesaian khusus.

    Contoh

    dN/dt = 0.1N, N = 500 apabila t = 0 memberi N = 500e^(0.1t).

  2. IsiMentafsir penyelesaian
    Huraian

    Terangkan kelakuan kuantiti apabila masa bertambah: tumbuh, susut atau menghampiri suatu had, dan beri nilai pada masa tertentu dengan unit konteks.

    Contoh

    dv/dt = −0.2v, v = 10 apabila t = 0 memberi v = 10e^(−0.2t); halaju berkurang menghampiri 0, dan pada t = 5, v = 10e^(−1) ≈ 3.68.

Peta alirContoh: Model pertumbuhan dN/dt = 0.1N, N = 500 apabila t = 0

  1. Pisahkan: (1/N) dN = 0.1 dt
  2. Kamirkan: ln N = 0.1t + c
  3. N = Ae^(0.1t); t = 0 memberi A = 500
  4. N = 500e^(0.1t)
  5. Tafsiran: populasi bertambah secara eksponen; apabila t = 10, N = 500e ≈ 1359
SP 10.1.2

SP 10.1.3Use a given substitution to transform a first-order differential equation to one with separable variables.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu menggunakan gantian yang diberi dalam soalan untuk menukar persamaan pembezaan kepada bentuk boleh dipisahkan, menyelesaikannya, kemudian kembali kepada pemboleh ubah asal.

  1. IsiGantian y = vx
    Huraian

    Bezakan y = vx untuk mendapat dy/dx = v + x dv/dx, gantikan, dan pisahkan v dan x.

    Contoh

    dy/dx = (x + y)/x menjadi v + x dv/dx = 1 + v, iaitu dv = dx/x, v = ln|x| + c, maka y = x ln|x| + cx.

  2. IsiGantian u = ax + by
    Huraian

    Bezakan u terhadap x, ungkapkan dy/dx dalam du/dx, gantikan dan selesaikan dalam u.

    Contoh

    dy/dx = (x + y)² dengan u = x + y: du/dx = 1 + u², tan⁻¹ u = x + c, y = tan(x + c) − x.

Peta alirContoh: Gantian u = x + y bagi dy/dx = (x + y)²

  1. Bezakan gantian: du/dx = 1 + dy/dx, maka dy/dx = du/dx − 1
  2. Gantikan: du/dx − 1 = u², jadi du/dx = 1 + u²
  3. Pisahkan: du/(1 + u²) = dx
  4. Kamirkan: tan⁻¹ u = x + c
  5. u = tan(x + c), maka y = tan(x + c) − x
SP 10.1.3

JadualGantian lazim

Bentuk persamaanGantianHubungan terbitan
dy/dx = f(y/x) (homogen)y = vxdy/dx = v + x dv/dx
dy/dx = f(ax + by)u = ax + bydu/dx = a + b dy/dx
Bentuk lain yang diberiIkut gantian soalanBezakan gantian terhadap x
SP 10.1.3

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

PKS
Pisah, Kamir, Syarat awal: tiga langkah menyelesaikan persamaan boleh dipisahkan.

Kad imbas

dy/dx = f(x)g(y): langkah pertama?
Pisahkan: (1/g(y)) dy = f(x) dx
Penyelesaian am mengandungi?
Pemalar sembarangan c
Penyelesaian dN/dt = kN
N = N₀e^(kt)
Gantian y = vx: dy/dx = ?
v + x dv/dx
Gantian u = x + y: du/dx = ?
1 + dy/dx

Semak kefahaman

  1. Cari penyelesaian am (general solution) bagi dy/dx = 6x²y. (SP 10.1.1)

    Lihat jawapan

    (1/y) dy = 6x² dx; ln|y| = 2x³ + c, maka y = Ae^(2x³) dengan A pemalar.

  2. Populasi P memenuhi dP/dt = 0.02P dengan P = 1000 apabila t = 0. Cari P apabila t = 50, betul kepada integer terdekat. (SP 10.1.2)

    Lihat jawapan

    (1/P) dP = 0.02 dt memberi P = 1000e^(0.02t); t = 50: P = 1000e¹ ≈ 2718.

  3. Dengan gantian y = vx, tukarkan dy/dx = (x² + y²)/(xy) kepada persamaan boleh dipisahkan dalam v dan x. (SP 10.1.3)

    Lihat jawapan

    dy/dx = v + x dv/dx dan (x² + v²x²)/(vx²) = (1 + v²)/v = 1/v + v, maka x dv/dx = 1/v, iaitu v dv = dx/x.

12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan bentuk persamaan pembezaan pemboleh ubah terpisah (separable variables), perbezaan penyelesaian am dan khusus melalui contoh yang dilengkapkan guru.

    Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan contoh dilengkapkan.

    SP disasar: 10.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menyelesaikan dy/dx = xy, mencari penyelesaian am, kemudian penyelesaian khusus apabila diberi syarat awal, dan menyemak dengan pembezaan.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja penyelesaian dan semakan.

    SP disasar: 10.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan pertumbuhan penduduk atau penyejukan kopi dengan persamaan pembezaan, menyelesaikannya dan menganalisis maksud pemalar dan jangka panjang.

    Bukti hasil kerja: Model, penyelesaian dan tafsiran konteks.

    SP disasar: 10.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menggunakan penggantian y = vx untuk mengubah persamaan kepada pemboleh ubah terpisah, menyelesaikannya dan menilai sama ada penggantian itu memudahkan penyelesaian.

    Bukti hasil kerja: Penyelesaian dengan penggantian dan ulasan.

    SP disasar: 10.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Differential Equations

  1. 10.1 First-order differential equations with separable variables
  2. 10.2 First-order linear differential equations