9.3 Areas between curves and volumes of solids of revolution
Unit ini menggunakan kamiran tentu untuk mengira luas rantau (area of region) yang dibatasi lengkung dan garis, serta isipadu janaan (volume of solid of revolution) apabila rantau dikisarkan pada paksi-x atau paksi-y.
SP 9.3.1Calculate the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the coordinate axes, enclosed by a curve and a line, or enclosed by two curves;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Calculate (mengira)
Calon perlu mengira luas rantau yang dibatasi lengkung dan garis selari paksi, lengkung dan garis lurus, atau dua lengkung.
- IsiLengkung dan garis selari paksiHuraian
∫ₐᵇ y dx (terhadap paksi-x) atau ∫ x dy (terhadap paksi-y); rantau di bawah paksi dikira berasingan.
ContohLuas di bawah y = x² + 1 dari x = 0 hingga 2 = [x³/3 + x]₀² = 14/3 unit².
- IsiLengkung dan garis atau dua lengkungHuraian
Cari titik persilangan, kemudian ∫ (atas − bawah) dx.
Contohy = 4 − x² dan y = x + 2 bersilang di x = −2, 1; luas = ∫₋₂¹ (2 − x − x²) dx = 9/2 unit².
JadualRumus luas dan isipadu
| Kes | Rumus |
|---|---|
| Luas di bawah lengkung, x = a hingga b | ∫ₐᵇ y dx |
| Luas antara lengkung dan paksi-y | ∫ x dy |
| Luas antara dua lengkung (f ≥ g) | ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx |
| Isipadu kisaran pada paksi-x | π ∫ₐᵇ y² dx |
| Isipadu kisaran pada paksi-y | π ∫ x² dy |
Peta alirContoh: luas antara y = x dan y = x²
- Titik persilangan: x² = x ⇒ x = 0, 1.
- Pada 0 < x < 1, x ≥ x².
- Luas = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹.
- = 1/2 − 1/3 = 1/6 unit².
SP 9.3.2Calculate the volume of a solid generated by revolving a region about the x-axis or y-axis.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Calculate (mengira)
Calon perlu mengira isipadu pepejal janaan (volume of solid of revolution) apabila rantau dikisar pada paksi-x atau paksi-y. Kaedah kelompang silinder (cylindrical shells) dikecualikan.
- IsiKisaran pada paksi-xHuraian
V = π ∫ₐᵇ y² dx.
Contohy = x², 0 ≤ x ≤ 2: V = π ∫₀² x⁴ dx = 32π/5 unit³.
- IsiKisaran pada paksi-yHuraian
V = π ∫ x² dy dengan x² diungkap dalam y.
Contohy = x², x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4: V = π ∫₀⁴ y dy = 8π unit³.
Peta alirContoh: rantau y = √x, 0 ≤ x ≤ 4 dikisar 360° pada paksi-x
- V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx.
- = π[x²/2]₀⁴.
- = 8π unit³.
Peta buih bergandaKisaran paksi-x lawan paksi-y
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- ABS
- Luas dua lengkung: Atas tolak Bawah, Selang dari titik persilangan
Kad imbas
- Luas antara dua lengkung
- ∫ (atas − bawah) dx
- Luas dengan paksi-y
- ∫ x dy
- Isipadu kisaran paksi-x
- π ∫ y² dx
- Isipadu kisaran paksi-y
- π ∫ x² dy
Semak kefahaman
Hitung luas rantau yang dibatasi lengkung y = 3x² − 2x, paksi-x, garis x = 1 dan garis x = 2. (SP 9.3.1)
Lihat jawapan
y positif pada 1 ≤ x ≤ 2; luas = ∫₁² (3x² − 2x) dx = [x³ − x²] dari 1 hingga 2 = (8 − 4) − (1 − 1) = 4 unit².
Rantau yang dibatasi y = √(x + 1), paksi-x, x = 0 dan x = 3 dikisarkan 360° pada paksi-x. Hitung isipadu pepejal janaan (volume of solid of revolution). (SP 9.3.2)
Lihat jawapan
V = π ∫₀³ (x + 1) dx = π[x²/2 + x] dari 0 hingga 3 = π(9/2 + 3) = 15π/2 unit³.
11 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menerangkan bagaimana luas rantau dikira melalui kamiran dan memilih had yang betul bagi rantau di antara lengkung dan paksi atau di antara dua lengkung.
Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan lakaran rantau berlorek.
SP disasar: 9.3.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira luas rantau di bawah lengkung, antara lengkung dan garis, dan antara dua lengkung, serta isi padu kisaran (volume of revolution) pada paksi-x.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja luas dan isi padu kisaran.
SP disasar: 9.3.1, 9.3.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis perbezaan kisaran pada paksi-x dan paksi-y bagi rantau yang sama, kemudian mengira dan membandingkan dua isi padu.
Bukti hasil kerja: Dua isi padu dan ulasan bandingan.
SP disasar: 9.3.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka bentuk profil sebuah pasu menggunakan lengkung, mengira isi padu kisarannya dan menyemak dengan model plastisin atau perisian.
Bukti hasil kerja: Profil pasu, pengiraan isi padu dan semakan.
SP disasar: 9.3.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.