Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Continuous Probability Distributions

15.2 Normal distributions

Anda akan menghuraikan taburan normal (normal distribution), menstandardkan pemboleh ubah, menggunakan jadual normal piawai dan menggunakan pembetulan keselanjaran (continuity correction) untuk menganggar taburan binomial.

  • STPM
  • 4 SP
  • 13 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 15.2.1Describe the general features of a normal distribution as a probability model in relation to its mean and standard deviation;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Describe (Memerihalkan)

Calon perlu memerihalkan ciri umum taburan normal N(μ, σ²) sebagai model kebarangkalian berkaitan min dan sisihan piawainya.

  1. IsiBentuk dan simetri
    Huraian

    Lengkung berbentuk loceng, simetri pada μ; min = median = mod; μ menentukan kedudukan, σ menentukan sebaran.

    Contoh

    N(60, 4) dan N(60, 25) berpusat sama pada 60, tetapi N(60, 25) lebih lebar dan lebih rendah.

  2. IsiPeratus dalam julat sisihan piawai
    Huraian

    Kira-kira 68% dalam μ ± σ, 95% dalam μ ± 2σ dan 99.7% dalam μ ± 3σ.

    Contoh

    Tinggi murid N(160, 25), σ = 5: kira-kira 95% murid antara 150 cm dan 170 cm.

Peta buihCiri taburan normal X ~ N(μ, σ²)

Taburan normal
Berbentuk loceng dan simetri pada μMin = median = modKira-kira 68% dalam μ ± σKira-kira 95% dalam μ ± 2σKira-kira 99.7% dalam μ ± 3σσ besar: lengkung lebih lebar dan rendah
SP 15.2.1

SP 15.2.2Standardise a normal random variable and use the standard normal distribution table;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Standardise (Menstandardkan)

Calon perlu menukar X ~ N(μ, σ²) kepada Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) dan menggunakan jadual normal piawai Φ(z) = P(Z < z).

  1. IsiPenstandardan
    Huraian

    Tolak min dan bahagi dengan sisihan piawai (bukan varians).

    Contoh

    X ~ N(50, 16): σ = 4, x = 58 memberi z = 2.

  2. IsiMenggunakan jadual
    Huraian

    P(Z > z) = 1 − Φ(z); Φ(−z) = 1 − Φ(z).

    Contoh

    P(Z > 2) = 1 − 0.9772 = 0.0228; P(Z < −1) = 1 − 0.8413 = 0.1587.

NotaPenstandardan

Z = (X − μ)/σ menukar X ~ N(μ, σ²) kepada Z ~ N(0, 1). Jadual normal piawai memberi Φ(z) = P(Z < z). Gunakan P(Z > z) = 1 − Φ(z) dan Φ(−z) = 1 − Φ(z).

SP 15.2.2

Peta alirContoh: X ~ N(50, 16), cari P(X < 54)

  1. σ = 4
  2. Z = (54 − 50)/4 = 1
  3. P(X < 54) = Φ(1)
  4. = 0.8413
SP 15.2.2SP 15.2.3

SP 15.2.3Find P(X < x) or a related probability, given x, μ and σ, and obtain a relation between x, μ and σ, given P(X < x) or a related probability;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (Mencari)

Calon perlu mencari P(X < x) atau kebarangkalian berkaitan diberi x, μ dan σ, dan sebaliknya membina hubungan antara x, μ dan σ diberi suatu kebarangkalian.

  1. IsiDiberi x, cari kebarangkalian
    Huraian

    Standardkan x dan baca jadual.

    Contoh

    X ~ N(50, 16): P(X < 54) = Φ(1) = 0.8413.

  2. IsiDiberi kebarangkalian, cari μ atau σ
    Huraian

    Cari z daripada jadual songsang, kemudian selesaikan (x − μ)/σ = z.

    Contoh

    μ = 50, P(X < 60) = 0.9: z = 1.282, σ = 10/1.282 ≈ 7.80. σ = 5, P(X > 70) = 0.0228: z = 2, μ = 70 − 10 = 60.

Peta alirContoh: μ = 50, P(X < 60) = 0.9, cari σ

  1. Φ(z) = 0.9 memberi z = 1.282
  2. (60 − 50)/σ = 1.282
  3. σ = 10/1.282
  4. σ ≈ 7.80
SP 15.2.3

SP 15.2.4Use a normal distribution, with a continuity correction, as an approximation to a binomial distribution where appropriate.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu menggunakan taburan normal N(np, np(1 − p)) dengan pembetulan keselanjaran (continuity correction) untuk menganggar taburan binomial apabila np > 5 dan n(1 − p) > 5.

  1. IsiSemak syarat dan bina model
    Huraian

    Pastikan np > 5 dan n(1 − p) > 5, kemudian Y ~ N(np, npq).

    Contoh

    B(100, 0.5): np = 50 dan nq = 50, maka Y ~ N(50, 25). B(10, 0.1): np = 1, tidak sesuai.

  2. IsiPembetulan keselanjaran
    Huraian

    Tukar setiap nilai integer kepada selang ±0.5 sebelum menstandardkan.

    Contoh

    B(50, 0.4) ≈ N(20, 12): P(X = 20) ≈ P(19.5 < Y < 20.5) = 2Φ(0.144) − 1 ≈ 0.115.

Peta alirContoh: X ~ B(100, 0.5), anggar P(X ≤ 55)

  1. np = 50 > 5 dan nq = 50 > 5
  2. Y ~ N(50, 25)
  3. Pembetulan keselanjaran: P(Y < 55.5)
  4. Z = 5.5/5 = 1.1
  5. Φ(1.1) = 0.8643
SP 15.2.4

JadualPembetulan keselanjaran

BinomialNormal
P(X ≤ 55)P(Y < 55.5)
P(X < 55)P(Y < 54.5)
P(X ≥ 45)P(Y > 44.5)
P(X = 50)P(49.5 < Y < 50.5)
SP 15.2.4

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

LSM
Loceng, Simetri, Min = median = mod: ciri utama taburan normal.

Kad imbas

Z
(X − μ)/σ
Φ(−z)
1 − Φ(z)
Syarat anggaran normal bagi binomial
n besar, np > 5 dan nq > 5
Anggaran B(n, p) dengan normal
N(np, npq)
Peratus dalam μ ± 2σ
Kira-kira 95%

Semak kefahaman

  1. Nyatakan peranan μ dan σ dalam taburan normal. (SP 15.2.1)

    Lihat jawapan

    μ menentukan kedudukan pusat lengkung, manakala σ menentukan sebaran (lebar) lengkung.

  2. X ~ N(30, 25). Standardkan x = 38. (SP 15.2.2)

    Lihat jawapan

    z = (38 − 30)/5 = 1.6.

  3. X ~ N(40, 16). Hitung P(X ＜ 36). (SP 15.2.3)

    Lihat jawapan

    z = (36 − 40)/4 = −1; P(Z ＜ −1) = 1 − 0.8413 = 0.1587.

  4. X ~ B(80, 0.5). Nyatakan taburan normal yang menganggarkan X. (SP 15.2.4)

    Lihat jawapan

    μ = np = 40, σ² = npq = 80(0.5)(0.5) = 20, maka Y ~ N(40, 20).

13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan ciri taburan normal (normal distribution) iaitu bentuk loceng, simetri dan kesan μ serta σ dengan melaras lengkung dalam perisian graf.

    Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan lakaran lengkung dengan μ, σ berlainan.

    SP disasar: 15.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menstandardkan pemboleh ubah (Z = (X − μ)/σ), menggunakan jadual normal piawai untuk mencari P(X < x), dan mencari x diberi kebarangkalian.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dengan jadual normal.

    SP disasar: 15.2.2, 15.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan data sebenar seperti tinggi murid sekolah dengan taburan normal, dan menganalisis μ serta σ daripada dua kebarangkalian yang diberi.

    Bukti hasil kerja: Pengiraan μ dan σ serta lakaran lengkung.

    SP disasar: 15.2.2, 15.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menilai sama ada penghampiran normal dengan pembetulan kesinambungan (continuity correction) sesuai bagi taburan binomial dan membandingkan dengan nilai binomial tepat.

    Bukti hasil kerja: Jadual perbandingan nilai tepat lawan hampiran serta justifikasi.

    SP disasar: 15.2.4 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Continuous Probability Distributions

  1. 15.1 Continuous random variables
  2. 15.2 Normal distributions