16.1 Sampling distributions
Anda akan memahami bahawa statistik sampel (sample statistic) ialah pemboleh ubah rawak yang mempunyai taburan persampelan (sampling distribution), termasuk taburan min sampel dan kadar sampel.
SP 16.1.1Recognise that a sample statistic based on data obtained by random sampling is a random variable and has a sampling distribution;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Recognise (Mengenali)
Calon perlu mengenali bahawa statistik sampel daripada persampelan rawak berubah dari sampel ke sampel, maka ia pemboleh ubah rawak yang mempunyai taburan persampelan (sampling distribution).
- IsiStatistik berubah-ubahHuraian
Parameter (μ, p) tetap tetapi tidak diketahui; statistik (x̄, p̂) dikira daripada sampel dan nilainya berbeza bagi setiap sampel rawak.
ContohTiga sampel rawak saiz 10 daripada populasi yang sama memberi x̄ = 4.8, 5.3 dan 5.1.
- IsiTaburan persampelanHuraian
Taburan semua nilai statistik yang mungkin bagi saiz sampel yang sama; ia mempunyai min dan varians sendiri.
ContohTaburan semua nilai p̂ bagi sampel 100 pengundi ialah taburan persampelan kadar sampel.
NotaStatistik sampel sebagai pemboleh ubah rawak
Sampel rawak berbeza memberi nilai statistik berbeza (contoh min sampel x̄ atau kadar sampel p̂). Oleh itu statistik sampel ialah pemboleh ubah rawak, dan taburan semua nilainya dipanggil taburan persampelan.
Peta pokokTaburan persampelan
- Min μ
- Varians σ²/n
- Teorem had memusat
- Min p
- Varians pq/n
- n besar
SP 16.1.2State the probability distribution of the sample mean from a normal population with known variance and use the central limit theorem;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)
Calon perlu menyatakan bahawa X̄ ~ N(μ, σ²/n) bagi populasi normal dengan varians diketahui, dan menggunakan teorem had memusat (central limit theorem) bagi sampel besar daripada sebarang populasi.
- IsiPopulasi normalHuraian
X̄ bertaburan normal tepat dengan min μ dan varians σ²/n bagi sebarang n.
Contohμ = 50, σ = 10, n = 25: X̄ ~ N(50, 4), P(X̄ > 53) = 1 − Φ(1.5) = 0.0668.
- IsiTeorem had memusatHuraian
Bagi n besar (lazimnya n ≥ 30), X̄ hampir N(μ, σ²/n) walaupun populasi tidak normal.
Contohμ = 20, σ = 6, n = 36: X̄ hampir N(20, 1), P(X̄ < 18.5) = Φ(−1.5) = 0.0668.
JadualTaburan persampelan
| Statistik | Taburan | Syarat |
|---|---|---|
| Min sampel X̄ | N(μ, σ²/n) | Populasi normal, varians diketahui (sebarang n) |
| Min sampel X̄ | Hampir N(μ, σ²/n) | Teorem had memusat: n besar (n ≥ 30), sebarang populasi |
| Kadar sampel P̂ | Hampir N(p, pq/n) | n besar (np > 5, nq > 5) |
Peta alirContoh: μ = 50, σ = 10, n = 25, cari P(X̄ > 53)
- X̄ ~ N(50, 100/25) = N(50, 4)
- Ralat piawai = 2
- Z = (53 − 50)/2 = 1.5
- P(Z > 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668
SP 16.1.3State the probability distribution of the sample proportion for a large sample size.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)
Calon perlu menyatakan bahawa bagi sampel besar, kadar sampel P̂ hampir N(p, p(1 − p)/n), dan menggunakannya.
- IsiTaburan P̂Huraian
Min p, varians pq/n, ralat piawai √(pq/n); sah apabila n besar.
Contohp = 0.4, n = 100: P̂ hampir N(0.4, 0.0024).
- IsiMengira kebarangkalianHuraian
Standardkan p̂ dengan ralat piawai, kemudian guna jadual normal.
ContohP(P̂ > 0.45) = P(Z > 0.05/0.04899) = P(Z > 1.02) ≈ 0.1539.
Peta alirContoh: p = 0.4, n = 100, cari P(P̂ > 0.45)
- P̂ ~ N(0.4, 0.4 × 0.6/100) = N(0.4, 0.0024)
- Ralat piawai = √0.0024 ≈ 0.04899
- Z = 0.05/0.04899 ≈ 1.02
- P(Z > 1.02) ≈ 0.1539
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- MVN
- Min sama μ, Varians σ²/n, Normal (tepat atau hampir) bagi X̄.
Kad imbas
- Taburan X̄ daripada N(μ, σ²)
- N(μ, σ²/n)
- Teorem had memusat
- n besar: X̄ hampir normal walau populasi tidak normal
- Taburan P̂ (n besar)
- N(p, pq/n)
- Mengapa x̄ pemboleh ubah rawak?
- Nilainya berubah dari sampel ke sampel
Semak kefahaman
Nyatakan dua contoh statistik sampel. (SP 16.1.1)
Lihat jawapan
Min sampel dan kadar sampel (atau varians sampel).
μ = 60, σ = 12 dan n = 36 daripada populasi normal. Nyatakan taburan X̄. (SP 16.1.2)
Lihat jawapan
X̄ ~ N(60, 12²/36) = N(60, 4).
p = 0.2 dan n = 400. Nyatakan taburan hampiran bagi P̂. (SP 16.1.3)
Lihat jawapan
P̂ ≈ N(0.2, 0.2 × 0.8/400) = N(0.2, 0.0004).
11 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid mengambil lima sampel kecil daripada kumpulan kad nombor, mengira min setiap sampel dan menjelaskan bahawa statistik sampel ialah pemboleh ubah rawak.
Bukti hasil kerja: Jadual min sampel dan penjelasan lisan.
SP disasar: 16.1.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira taburan min sampel dan proporsi sampel bagi populasi tertentu serta menggunakan teorem had pusat (central limit theorem) untuk mengira kebarangkalian.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja taburan persampelan dan kebarangkalian.
SP disasar: 16.1.2, 16.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mengumpul min 30 sampel secara simulasi dan menganalisis bagaimana saiz n mempengaruhi sebaran min sampel, serta membandingkan dengan teori.
Bukti hasil kerja: Plot simulasi dan analisis kesan saiz sampel.
SP disasar: 16.1.1, 16.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada teorem had pusat boleh digunakan bagi tiga situasi populasi bukan normal dengan saiz sampel berbeza dan mewajarkan keputusan.
Bukti hasil kerja: Keputusan dengan justifikasi saiz sampel.
SP disasar: 16.1.2, 16.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.