2.2 Series
Unit ini meliputi kembangan binomial (binomial expansion) (a + b)ⁿ bagi n integer positif dan (1 + x)ⁿ bagi n nisbah dengan |x| < 1, serta aruhan matematik untuk hasil tambah siri (series).
SP 2.2.1Find and use the binomial expansion of (a + b)^n, where n ∈ ℤ+;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find (mencari)
Calon perlu mencari kembangan binomial (binomial expansion) (a + b)ⁿ bagi n integer positif dan menggunakannya, termasuk sebutan am.
- IsiSebutan amHuraian
Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ; kembangan mempunyai n + 1 sebutan.
ContohPekali x³ dalam (x − 2)⁵: r = 2, ⁵C₂(−2)² = 10 × 4 = 40.
- IsiKembangan beberapa sebutanHuraian
Tulis sebutan mengikut r = 0, 1, 2, ... dan permudah.
Contoh(1 + 2x)⁵ = 1 + 10x + 40x² + ... (⁵C₁ × 2 = 10, ⁵C₂ × 4 = 40).
JadualRumus kembangan binomial
| Kes | Rumus | Syarat |
|---|---|---|
| (a + b)ⁿ, n ∈ ℤ⁺ | ∑ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ, r = 0 hingga n; sebutan am Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ | Siri terhingga, n + 1 sebutan |
| (1 + x)ⁿ, n ∈ ℚ | 1 + nx + n(n − 1)x²/2! + n(n − 1)(n − 2)x³/3! + ... | Siri tak terhingga, sah bagi |x| < 1 |
SP 2.2.2Find and use the binomial expansion of (1 + x)^n, where n ∈ ℚ and |x| < 1;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find (mencari)
Calon perlu mencari kembangan (1 + x)ⁿ bagi n nisbah dan menggunakannya, serta menyatakan syarat |x| < 1.
- IsiRumus dan syaratHuraian
(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n − 1)x²/2! + ... ialah siri tak terhingga yang sah bagi |x| < 1.
Contoh(1 − 3x)^(1/3) = 1 − x − x² + ..., sah bagi |3x| < 1, iaitu |x| < 1/3.
- IsiBentuk (a + bx)ⁿHuraian
Faktorkan a dahulu supaya ungkapan menjadi aⁿ(1 + bx/a)ⁿ, kemudian syaratnya |bx/a| < 1.
Contoh(4 + x)^(1/2) = 2(1 + x/4)^(1/2) = 2 + x/4 − x²/64 + ..., sah bagi |x| < 4.
Peta alirContoh: kembangkan (1 − 2x)⁻² hingga sebutan x²
- n = −2, ganti x dengan −2x.
- 1 + (−2)(−2x) + (−2)(−3)(−2x)²/2!
- = 1 + 4x + 3(4x²) = 1 + 4x + 12x².
- Sah bagi |−2x| < 1, iaitu |x| < 1/2.
Tahukah andaTahukah anda
Kembangan (1 + x)^(1/2) memberi anggaran punca kuasa dua: √1.02 ≈ 1 + 0.01 − 0.00005 = 1.00995, iaitu tepat hingga 5 tempat perpuluhan.
SP 2.2.3Use mathematical induction to verify a formula for the sum of the first n terms of a series.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)
Calon perlu menggunakan aruhan matematik untuk mengesahkan rumus hasil tambah n sebutan pertama siri (series).
- IsiLangkah aruhan bagi siriHuraian
Sₖ₊₁ = Sₖ + sebutan ke-(k + 1); gantikan andaian Sₖ dan faktorkan untuk mendapat bentuk n = k + 1.
Contoh∑ r² = n(n + 1)(2n + 1)/6: k(k + 1)(2k + 1)/6 + (k + 1)² = (k + 1)(k + 2)(2k + 3)/6.
- IsiLangkah asas dan kesimpulanHuraian
Semak n = 1 dan nyatakan kesimpulan bagi semua n ∈ ℤ⁺.
Contoh∑ (2r − 1) = n²: n = 1 memberi 1 = 1²; Sₖ₊₁ = k² + (2k + 1) = (k + 1)².
Peta alirContoh aruhan: ∑ r (r = 1 hingga n) = n(n + 1)/2
- n = 1: kiri = 1, kanan = 1(2)/2 = 1. Benar.
- Anggap ∑ r hingga k = k(k + 1)/2.
- Hingga k + 1: k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2.
- Benar bagi n = k + 1; maka benar bagi semua n ∈ ℤ⁺.
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- BTS
- Binomial: Bilangan sebutan n + 1, Tᵣ₊₁ untuk sebutan am, Syarat |x| < 1 bagi n nisbah
Kad imbas
- Sebutan am (a + b)ⁿ
- Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
- Syarat kembangan (1 + x)ⁿ, n ∉ ℤ⁺
- |x| < 1
- (1 + x)⁻¹
- 1 − x + x² − x³ + ...
- Bilangan sebutan (a + b)ⁿ
- n + 1
- Aruhan siri: langkah aruhan
- Tambah sebutan ke-(k + 1) pada Sₖ
Semak kefahaman
Cari pekali x² dalam kembangan binomial (binomial expansion) (2 + x)⁵. (SP 2.2.1)
Lihat jawapan
Sebutan x²: ⁵C₂ (2³)(x²) = 10 × 8 x², maka pekali = 80.
Kembangkan (1 + x)⁻¹ hingga sebutan x². (SP 2.2.2)
Lihat jawapan
(1 + x)⁻¹ = 1 + (−1)x + (−1)(−2)x²/2! = 1 − x + x², sah bagi |x| ＜ 1.
Diberi ∑ (3r − 1), r = 1 hingga n, sama dengan n(3n + 1)/2. Dalam langkah aruhan, permudahkan k(3k + 1)/2 + (3k + 2) kepada bentuk faktor. (SP 2.2.3)
Lihat jawapan
k(3k + 1)/2 + (3k + 2) = (3k² + 7k + 4)/2 = (k + 1)(3k + 4)/2, iaitu rumus bagi n = k + 1.
13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid melengkapkan segi tiga Pascal hingga baris ke-6 dan menyatakan rumus kembangan binomial (binomial expansion) dengan sebutan ke-(r + 1), kemudian menguji ingatan melalui kuiz lisan berpasangan.
Bukti hasil kerja: Segi tiga Pascal lengkap dan jawapan kuiz lisan.
SP disasar: 2.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengembangkan (2 + x)⁵ dan (1 − 2x)⁻² hingga sebutan x², dengan menyatakan syarat |x| yang menjadikan kembangan sah.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kembangan dengan syarat kesahan dinyatakan.
SP disasar: 2.2.1, 2.2.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menggunakan kembangan binomial untuk menganggar (1.02)^10 dan (0.98)^−3, membandingkan dengan kalkulator, dan menganalisis bagaimana saiz x mempengaruhi ralat.
Bukti hasil kerja: Jadual anggaran lawan nilai tepat dan ulasan ralat.
SP disasar: 2.2.1, 2.2.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid membukti dengan aruhan bahawa ∑ r (r = 1 hingga n) = n(n + 1)/2 dan satu formula jumlah lain, kemudian menilai kekuatan bukti rakan dan membetulkan langkah yang tidak lengkap.
Bukti hasil kerja: Bukti aruhan bertulis dan maklum balas rakan sebaya.
SP disasar: 2.2.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.