3.1 Matrices
Unit ini melibatkan operasi matriks (matrix) dengan tiga baris atau tiga lajur, sifat operasi matriks, hasil AA⁻¹ = A⁻¹A = I dan penggunaan adjoin (adjoint) untuk mencari songsang matriks 3 × 3.
SP 3.1.1Perform addition, subtraction, scalar multiplication and matrix multiplication for matrices that have three rows or three columns;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Perform (melakukan)
Calon perlu melakukan penambahan, penolakan, pendaraban skalar dan pendaraban matriks (matrix) yang mempunyai tiga baris atau tiga lajur.
- IsiTambah, tolak dan darab skalarHuraian
Hanya matriks berperingkat sama boleh ditambah atau ditolak; darab skalar mendarab setiap unsur.
ContohA dengan baris (1, 2, 0), (0, 1, 3), (2, 0, 1): 2A mempunyai baris (2, 4, 0), (0, 2, 6), (4, 0, 2).
- IsiPendaraban matriksHuraian
AB tertakrif jika lajur A = baris B; unsur (i, j) = baris i A darab lajur j B.
ContohBaris (1 2 3) berperingkat 1 × 3 didarab lajur (2, 0, 1) berperingkat 3 × 1 memberi 2 + 0 + 3 = 5 (1 × 1); susunan terbalik memberi matriks 3 × 3.
Poin utamaOperasi matriks
- Tambah/tolak: hanya bagi matriks peringkat sama; operasi unsur demi unsur.
- Pendaraban skalar kA: setiap unsur didarab k.
- Pendaraban AB tertakrif jika bilangan lajur A = bilangan baris B; (m × n)(n × p) memberi m × p.
- Unsur (i, j) bagi AB = hasil darab baris i A dengan lajur j B.
SP 3.1.2Use the properties of matrix operations and use the result AA^−1 = A^−1A = I;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)
Calon perlu menggunakan sifat operasi matriks dan hasil AA⁻¹ = A⁻¹A = I.
- IsiSifat operasiHuraian
Kalis sekutuan dan kalis agihan berlaku, tetapi umumnya AB ≠ BA; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.
ContohA(B + C) = AB + AC membolehkan dua pendaraban digabung menjadi satu.
- IsiMenggunakan AA⁻¹ = IHuraian
Jika AB = kI (k ≠ 0), maka A⁻¹ = (1/k)B; semak dengan mendarab untuk mendapat I.
ContohJika A(A − 2I) = 3I, maka A⁻¹ = (A − 2I)/3.
JadualSifat operasi matriks
| Sifat | Rumus |
|---|---|
| Kalis sekutuan | (AB)C = A(BC) |
| Kalis agihan | A(B + C) = AB + AC |
| Umumnya tidak kalis tukar tertib | AB ≠ BA |
| Identiti | AI = IA = A |
| Songsang | AA⁻¹ = A⁻¹A = I; (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ |
Peta alirContoh: guna AA⁻¹ = I jika A² − 5A + 6I = 0
- Susun semula: 5A − A² = 6I.
- Faktorkan: A(5I − A) = 6I.
- Bahagi 6: A[(5I − A)/6] = I.
- Maka A⁻¹ = (5I − A)/6.
SP 3.1.3Use the adjoint of a matrix to find the inverse of an invertible 3 × 3 matrix.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)
Calon perlu menggunakan adjoin (adjoint) untuk mencari songsang matriks 3 × 3 yang tak singular.
- IsiKofaktor dan adjoinHuraian
Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ; adj A = transpos matriks kofaktor; A⁻¹ = (1/|A|) adj A.
ContohA dengan baris (2, 1, 0), (0, 3, 1), (1, 0, 1): |A| = 7, adj A mempunyai baris (3, −1, 1), (1, 2, −2), (−3, 1, 6), maka A⁻¹ = adj A/7.
- IsiSyarat tak singularHuraian
Songsang wujud hanya jika |A| ≠ 0; semak jawapan dengan AA⁻¹ = I.
ContohMatriks dengan dua baris yang sama mempunyai |A| = 0, maka tiada songsang.
Peta alirContoh: songsang 3 × 3 dengan adjoin
- Kira penentu |A|; jika |A| = 0, A singular (tiada songsang).
- Cari matriks kofaktor Cᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ.
- Adjoin: adj A = transpos matriks kofaktor.
- A⁻¹ = (1/|A|) adj A.
- Semak: AA⁻¹ = I.
Peta buihMatriks tak singular (invertible)
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- PKAS
- Songsang 3 × 3: Penentu, Kofaktor, Adjoin, Skala 1/|A|
Kad imbas
- Peringkat AB jika A ialah 3 × 2 dan B ialah 2 × 3
- 3 × 3
- (AB)⁻¹
- B⁻¹A⁻¹
- Adjoin matriks
- Transpos matriks kofaktor
- Kofaktor Cᵢⱼ
- (−1)ⁱ⁺ʲ × minor Mᵢⱼ
- Syarat songsang wujud
- |A| ≠ 0
Semak kefahaman
Diberi matriks A dengan baris (1, 0, 2), (0, 1, −1), (3, 1, 0) dan matriks lajur X = (2, 1, 1). Hitung AX. (SP 3.1.1)
Lihat jawapan
Baris 1: 2 + 0 + 2 = 4; baris 2: 0 + 1 − 1 = 0; baris 3: 6 + 1 + 0 = 7. Maka AX = (4, 0, 7), iaitu matriks 3 × 1.
Diberi matriks A memenuhi A² − 4A − 5I = 0. Ungkapkan A⁻¹ dalam sebutan A dan I. (SP 3.1.2)
Lihat jawapan
A² − 4A = 5I, maka A(A − 4I) = 5I dan A[(A − 4I)/5] = I. Oleh itu A⁻¹ = (A − 4I)/5.
Cari penentu (determinant) bagi matriks A dengan baris (1, 2, 0), (0, 1, 3), (2, 0, 1). (SP 3.1.3)
Lihat jawapan
Kembangkan baris pertama: |A| = 1(1 × 1 − 3 × 0) − 2(0 × 1 − 3 × 2) + 0 = 1 + 12 = 13.
13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid berpasangan menyelesaikan tambah, tolak dan darab skalar matriks 3 × 3 pada kad latihan, menyebut peraturan bilangan lajur dan baris sebelum mendarab dua matriks.
Bukti hasil kerja: Kad latihan operasi matriks dan penjelasan lisan syarat pendaraban.
SP disasar: 3.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengira darab matriks 3 × 3, menentukan jika AB = BA dan mengesahkan sifat operasi, kemudian menggunakan AA⁻¹ = I apabila A² − 5A + 6I = 0.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan dan pengesahan sifat.
SP disasar: 3.1.1, 3.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mengira kofaktor, penentu dan adjoin (adjoint) matriks 3 × 3 langkah demi langkah, kemudian menyemak songsang yang diperoleh dengan mendarab A dan A⁻¹.
Bukti hasil kerja: Jadual kofaktor dan semakan A × A⁻¹ = I.
SP disasar: 3.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai sama ada tiga matriks 3 × 3 tak singular (invertible) melalui penentu, mewajarkan keputusan, lalu mencari songsang yang wujud dan menyemaknya dengan perisian matriks.
Bukti hasil kerja: Justifikasi penentu bertulis dan semakan perisian.
SP disasar: 3.1.2, 3.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.