5.2 Parametric and polar curves
Unit ini melakar lengkung berparameter (parametric curve) dengan arah, menukar persamaan berparameter kepada persamaan Cartes, dan melakar lengkung kutub (polar curve).
SP 5.2.1Sketch a simple curve with a parametric equation for a given set of values of the parameter and indicate the direction of the curve corresponding to increasing values of the parameter;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Sketch (melakar)
Calon perlu melakar lengkung berparameter (parametric curve) bagi set nilai parameter yang diberi dan menunjukkan arah lengkung apabila parameter menokok.
- IsiJadual nilaiHuraian
Kira (x, y) bagi beberapa nilai parameter, plot dan sambung mengikut tertib parameter.
Contohx = t + 1, y = t², t = −2 hingga 2: (−1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 4).
- IsiArah lengkungHuraian
Lukis anak panah mengikut arah titik bergerak apabila parameter bertambah.
Contohx = 2 cos t, y = 2 sin t, 0 ≤ t ≤ 2π: bulatan bermula di (2, 0) dan bergerak lawan arah jam.
Peta alirContoh: x = t², y = 2t
- Jadual: t = −2, −1, 0, 1, 2 memberi (4, −4), (1, −2), (0, 0), (1, 2), (4, 4).
- Plot dan sambung titik mengikut t menokok; tanda anak panah dari bawah ke atas.
- Hapus t: t = y/2, maka x = y²/4.
- Persamaan Cartes: y² = 4x (parabola).
SP 5.2.2Find a Cartesian equation of a curve with parametric equations and use it to sketch the curve;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find (mencari)
Calon perlu mencari persamaan Cartes bagi lengkung berparameter dan menggunakannya untuk melakar lengkung.
- IsiHapus parameter secara algebraHuraian
Jadikan parameter perkara rumus dalam satu persamaan dan gantikan ke dalam persamaan lain.
Contohx = t + 1, y = t² ⇒ t = x − 1, maka y = (x − 1)².
- IsiHapus parameter dengan identitiHuraian
Gunakan identiti seperti cos² t + sin² t = 1; ambil kira julat x dan y yang terhad.
Contohx = 3 cos t, y = 2 sin t ⇒ x²/9 + y²/4 = 1, iaitu elips.
JadualPenukaran parameter dan kutub
| Diberi | Cartes |
|---|---|
| x = cos t, y = sin t | x² + y² = 1 |
| x = 2t + 1, y = t − 3 | x − 2y = 7 |
| r = 4 cos θ | x² + y² = 4x |
| r = a | x² + y² = a² |
SP 5.2.3Sketch a curve with polar equation for 0 < θ < 2π or its subset, and r > 0.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Sketch (melakar)
Calon perlu melakar lengkung berpersamaan kutub (polar equation) bagi 0 < θ < 2π atau subsetnya, dengan r > 0.
- IsiJadual nilai θ dan rHuraian
Kira r bagi nilai θ piawai; plot hanya titik dengan r > 0.
Contohr = 2 + 2 cos θ: θ = 0, π/2, 3π/2 memberi r = 4, 2, 2; r = 0 pada θ = π; lengkung ialah kardioid (cardioid).
- IsiTukar kepada Cartes untuk mengecamHuraian
Guna x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y².
Contohr = 6 sin θ ⇒ x² + y² = 6y, bulatan pusat (0, 3) jejari 3; r > 0 hanya bagi 0 < θ < π.
Peta pokokLengkung kutub lazim
- r = a (pusat asalan)
- r = 2a cos θ (pusat (a, 0))
- r = aθ, r bertambah dengan θ
- r = a(1 + cos θ)
- Simetri pada garis awal
- θ = α, satu sinar dari kutub
NotaHubungan kutub-Cartes
x = r cos θ, y = r sin θ, r² = x² + y². Untuk melakar, bina jadual nilai θ (cth 0, π/6, π/4, π/3, π/2, ...), kira r, dan plot hanya titik dengan r > 0 dalam julat θ yang diberi.
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- JPS
- Lakar lengkung kutub: Jadual nilai, Plot r > 0, Sambung licin
Kad imbas
- Arah lengkung berparameter
- Arah titik bergerak apabila parameter menokok
- Cartes bagi x = t², y = 2t
- y² = 4x
- x dan y dalam kutub
- x = r cos θ, y = r sin θ
- r = a(1 + cos θ)
- Kardioid
- Cara hapus parameter
- Jadikan t perkara rumus atau guna identiti
Semak kefahaman
Bagi lengkung berparameter (parametric curve) x = 2t, y = t² − 1, hitung koordinat titik apabila t = −1, 0 dan 2. (SP 5.2.1)
Lihat jawapan
t = −1: (−2, 0); t = 0: (0, −1); t = 2: (4, 3).
Cari persamaan Cartes bagi lengkung x = 3t − 1, y = 2t + 5. (SP 5.2.2)
Lihat jawapan
t = (x + 1)/3; y = 2(x + 1)/3 + 5, maka 3y = 2x + 2 + 15, iaitu 3y = 2x + 17.
Hitung nilai r bagi lengkung kutub r = 1 + cos θ apabila θ = 0, θ = π/3 dan θ = π/2. (SP 5.2.3)
Lihat jawapan
θ = 0: r = 1 + 1 = 2; θ = π/3: r = 1 + 1/2 = 1.5; θ = π/2: r = 1 + 0 = 1.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menghuraikan makna parameter t dengan memplot titik (x(t), y(t)) bagi nilai t berbeza dan menandakan arah lengkung apabila t bertambah.
Bukti hasil kerja: Jadual nilai t dan lakaran dengan anak panah arah.
SP disasar: 5.2.1 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menghapuskan parameter untuk mendapat persamaan Cartesan, melakar lengkung, dan melakar lengkung kutub r = f(θ) dengan jadual nilai θ.
Bukti hasil kerja: Persamaan Cartesan dan lakaran lengkung kutub.
SP disasar: 5.2.2, 5.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid membandingkan lakaran lengkung kutub dengan perisian graf bagi r = 1 + cos θ dan r = 2 sin θ, serta menganalisis simetri dan titik penting.
Bukti hasil kerja: Lakaran bandingan dan ulasan simetri.
SP disasar: 5.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu persamaan berparameter yang menghasilkan bulatan atau elips tertentu, membuktikan persamaan Cartesannya dan menunjukkan arah lengkung.
Bukti hasil kerja: Persamaan parameter rekaan, bukti dan lakaran.
SP disasar: 5.2.1, 5.2.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.