Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Vectors and Geometry

6.1 Vectors in three dimensions

Unit ini mewakilkan vektor (vector) dalam tiga dimensi secara geometri dan algebra, mengira magnitud dan vektor unit, menjalankan operasi vektor, teorem nisbah (ratio theorem), hasil darab skalar (scalar product) dan hasil darab vektor (vector product).

  • STPM
  • 6 SP
  • 18 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 6.1.1Use a directed line segment to represent a vector geometrically and use the base vectors, i, j and k, to represent a position vector algebraically;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)

Calon perlu mewakilkan vektor (vector) secara geometri dengan tembereng garis berarah (directed line segment) dan secara algebra dengan vektor asas i, j, k bagi vektor kedudukan (position vector).

  1. IsiPerwakilan geometri
    Huraian

    Panjang tembereng = magnitud, anak panah = arah; AB = OB − OA.

    Contoh

    A(1, 0, 2), B(3, 4, 1): AB = 2i + 4j − k.

  2. IsiPerwakilan algebra
    Huraian

    Vektor kedudukan P(x, y, z) ialah OP = xi + yj + zk.

    Contoh

    P(−2, 5, 3): OP = −2i + 5j + 3k.

NotaPerwakilan vektor

Vektor diwakili tembereng garis berarah (directed line segment) AB dengan panjang = magnitud dan anak panah = arah. Vektor kedudukan titik P(x, y, z) ialah OP = xi + yj + zk dengan i, j, k vektor asas (base vectors). AB = OB − OA. Magnitud |xi + yj + zk| = √(x² + y² + z²); vektor unit â = a/|a|.

SP 6.1.1SP 6.1.2

SP 6.1.2Calculate the magnitude of a vector and find a unit vector in the direction of a given vector;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (mengira)

Calon perlu mengira magnitud vektor dan mencari vektor unit dalam arah vektor yang diberi.

  1. IsiMagnitud
    Huraian

    |xi + yj + zk| = √(x² + y² + z²).

    Contoh

    |3i − 6j + 2k| = √(9 + 36 + 4) = 7.

  2. IsiVektor unit
    Huraian

    â = a/|a|, magnitudnya 1 dan arahnya sama dengan a.

    Contoh

    Vektor unit arah 3i − 6j + 2k ialah (3i − 6j + 2k)/7.

SP 6.1.3Perform addition and subtraction of vectors and the multiplication of a vector by a scalar;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Perform (melakukan)

Calon perlu menambah dan menolak vektor serta mendarab vektor dengan skalar, termasuk menentukan kesegarisan (collinearity) tiga titik.

  1. IsiOperasi komponen
    Huraian

    Tambah atau tolak komponen sepadan; ka mendarab setiap komponen dengan k.

    Contoh

    a = 2i − j + 3k, b = i + 4j − k: a − 2b = −9j + 5k.

  2. IsiKesegarisan tiga titik
    Huraian

    A, B, C segaris jika AB = k AC bagi suatu skalar k (vektor selari dan berkongsi titik A).

    Contoh

    A(1, 2, 3), B(3, 6, 7), C(4, 8, 9): AB = (2, 4, 4), AC = (3, 6, 6) = 1.5 AB, maka segaris.

JadualOperasi dan hasil darab vektor, a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃)

OperasiRumusSifat penting
a ± b(a₁ ± b₁, a₂ ± b₂, a₃ ± b₃)Hukum segi tiga/segi empat selari
ka(ka₁, ka₂, ka₃)Selari dengan a
a · b (skalar)a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b| cos θa · b = 0 ⇔ a ⊥ b; a · a = |a|²; a · b = b · a
a × b (vektor)(a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)|a × b| = |a||b| sin θ; a × b = −b × a; a × b = 0 ⇔ a ∥ b
SP 6.1.3SP 6.1.5SP 6.1.6

SP 6.1.4Use the ratio theorem in geometrical applications;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)

Calon perlu menggunakan teorem nisbah (ratio theorem) dalam aplikasi geometri.

  1. IsiTeorem nisbah
    Huraian

    Jika R membahagi AB dengan AR : RB = λ : μ, maka OR = (μ OA + λ OB)/(λ + μ).

    Contoh

    A(2, −1, 4), B(8, 5, 1), AR : RB = 2 : 1: OR = ((2, −1, 4) + 2(8, 5, 1))/3 = (6, 3, 2).

  2. IsiAplikasi geometri
    Huraian

    Titik tengah ialah kes λ = μ; teorem nisbah juga membuktikan titik membahagi tembereng atau terletak segaris.

    Contoh

    Dalam segi tiga OAB, titik tengah M bagi AB memberi OM = (a + b)/2.

Peta alirContoh teorem nisbah: A(1, 2, 3), B(4, 8, 9), R membahagi AB dengan nisbah 1 : 2

  1. Teorem nisbah: OR = (μ OA + λ OB)/(λ + μ) dengan λ : μ = 1 : 2.
  2. OR = (2 OA + OB)/3.
  3. = (2(1, 2, 3) + (4, 8, 9))/3 = (6, 12, 15)/3.
  4. R = (2, 4, 5).
SP 6.1.4

SP 6.1.5Find the scalar product of two vectors and use its properties;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (mencari)

Calon perlu mencari hasil darab skalar (scalar product) dua vektor dan menggunakan sifatnya.

  1. IsiHasil darab skalar dan sudut
    Huraian

    a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b| cos θ.

    Contoh

    a = (1, −2, 2), b = (4, 0, 3): a · b = 10, |a| = 3, |b| = 5, cos θ = 2/3, θ ≈ 48.2°.

  2. IsiSifat
    Huraian

    a · b = 0 ⇔ a ⊥ b (a, b bukan sifar); a · a = |a|²; a · b = b · a; kalis agihan.

    Contoh

    (p, 1, −2) · (3, p, 1) = 4p − 2 = 0 ⇒ p = 1/2 supaya berserenjang.

Peta alirContoh: a = i + 2j + 2k, b = 2i − j + 2k

  1. a · b = 2 − 2 + 4 = 4; |a| = |b| = 3.
  2. cos θ = 4/9, θ ≈ 63.6°.
  3. a × b = (2·2 − 2·(−1), 2·2 − 1·2, 1·(−1) − 2·2) = 6i + 2j − 5k.
  4. Semak: (a × b) · a = 6 + 4 − 10 = 0, maka a × b berserenjang dengan a.
SP 6.1.5SP 6.1.6

Peta buih bergandaHasil darab skalar lawan vektor

a · bHasil ialah skalarKalis tukar tertibSifar jika berserenjang
PersamaanMelibatkan sudut antara a dan bKalis agihan terhadap penambahan
a × bHasil ialah vektor berserenjang kepada a dan ba × b = −b × aSifar jika selari; magnitud = luas segi empat selari
SP 6.1.5SP 6.1.6

SP 6.1.6Find the vector product of two vectors and use its properties.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (mencari)

Calon perlu mencari hasil darab vektor (vector product) dua vektor dan menggunakan sifatnya.

  1. IsiPengiraan
    Huraian

    a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁), berserenjang dengan a dan b.

    Contoh

    (1, 0, 2) × (0, 1, 3) = (−2, −3, 1).

  2. IsiSifat
    Huraian

    |a × b| = |a||b| sin θ = luas segi empat selari; a × b = −b × a; a × b = 0 ⇔ a ∥ b.

    Contoh

    Luas segi tiga dengan sisi (1, 0, 2) dan (0, 1, 3) ialah ½√14 ≈ 1.87 unit².

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

SKSV
Skalar: Kos sudut; Sinus sudut: Vektor

Kad imbas

|2i − j + 2k|
3
AB dalam vektor kedudukan
OB − OA
a · b = 0 bermaksud
a berserenjang dengan b
i × j
k
Teorem nisbah, AR : RB = λ : μ
OR = (μ OA + λ OB)/(λ + μ)
Vektor unit arah a
a/|a|

Semak kefahaman

  1. Tulis vektor kedudukan (position vector) titik P(4, −3, 2) dalam sebutan vektor asas i, j dan k. (SP 6.1.1)

    Lihat jawapan

    OP = 4i − 3j + 2k.

  2. Hitung magnitud vektor a = 4i − 4j + 7k. (SP 6.1.2)

    Lihat jawapan

    |a| = √(16 + 16 + 49) = √81 = 9.

  3. Diberi a = 3i − 2j + k dan b = i + j − 2k. Hitung 2a − 3b. (SP 6.1.3)

    Lihat jawapan

    2a = 6i − 4j + 2k dan 3b = 3i + 3j − 6k, maka 2a − 3b = 3i − 7j + 8k.

  4. Titik R membahagi AB dengan AR : RB = 3 : 1, dengan A(1, 5, −2) dan B(9, 1, 6). Cari koordinat R menggunakan teorem nisbah (ratio theorem). (SP 6.1.4)

    Lihat jawapan

    OR = (1 × OA + 3 × OB)/4 = [(1, 5, −2) + (27, 3, 18)]/4 = (28, 8, 16)/4 = (7, 2, 4).

  5. Hitung hasil darab skalar (scalar product) a · b bagi a = 2i − 3j + k dan b = 4i + j − 2k. (SP 6.1.5)

    Lihat jawapan

    a · b = 2(4) + (−3)(1) + 1(−2) = 8 − 3 − 2 = 3.

  6. Hitung hasil darab vektor (vector product) a × b bagi a = 2i + j − k dan b = i − j + 3k. (SP 6.1.6)

    Lihat jawapan

    a × b = (1·3 − (−1)(−1))i + ((−1)(1) − 2·3)j + (2(−1) − 1·1)k = 2i − 7j − 3k.

18 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Mengingat

    Aktiviti: Murid menyatakan vektor posisi menggunakan i, j, k dan menulis rumus magnitud, vektor unit, hasil darab skalar dan hasil darab vektor pada kad rumus.

    Bukti hasil kerja: Kad rumus vektor yang lengkap dan betul.

    SP disasar: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.5, 6.1.6 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menambah, menolak vektor dan mendarab dengan skalar, mengira magnitud, vektor unit, dan menggunakan teorem nisbah (ratio theorem) pada segi tiga yang diberi.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pengiraan vektor dan nisbah.

    SP disasar: 6.1.2, 6.1.3, 6.1.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menggunakan model kubus daripada kad untuk menganalisis sudut antara dua vektor melalui hasil darab skalar dan luas segi tiga melalui hasil darab vektor.

    Bukti hasil kerja: Pengiraan sudut dan luas serta penerangan kumpulan.

    SP disasar: 6.1.5, 6.1.6 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Mencipta

    Aktiviti: Murid mereka satu masalah geometri 3D, contohnya mencari jarak dari titik ke garis, menggunakan sifat hasil darab skalar dan vektor, dan menulis penyelesaian lengkap.

    Bukti hasil kerja: Masalah rekaan dan penyelesaian bertulis.

    SP disasar: 6.1.1, 6.1.5, 6.1.6 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Vectors and Geometry

  1. 6.1 Vectors in three dimensions
  2. 6.2 Three-dimensional vector geometry