Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Vectors and Geometry

6.2 Three-dimensional vector geometry

Unit ini membina persamaan vektor garis lurus r = a + λb dan satah r · n = d, menukarnya kepada bentuk Cartes, serta mencari titik persilangan dan sudut antara garis dan satah.

  • STPM
  • 6 SP
  • 16 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 6.2.1Find the vector equation of a line in the form r = a + λb, given a point on the line and a direction vector;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (mencari)

Calon perlu mencari persamaan vektor garis lurus r = a + λb diberi satu titik dan vektor arah.

  1. IsiSatu titik dan arah
    Huraian

    a ialah vektor kedudukan titik, b vektor arah, λ parameter.

    Contoh

    Melalui A(2, −1, 3) dengan arah (1, 4, −2): r = (2, −1, 3) + λ(1, 4, −2).

  2. IsiDua titik
    Huraian

    Arah = AB, kemudian guna salah satu titik.

    Contoh

    A(1, 1, 0), B(3, 0, 4): r = (1, 1, 0) + λ(2, −1, 4); λ = 1 memberi B.

JadualPersamaan garis dan satah

ObjekBentuk vektorBentuk Cartes
Garis melalui A arah br = a + λb(x − a₁)/b₁ = (y − a₂)/b₂ = (z − a₃)/b₃
Satah melalui A normal nr · n = d, d = a · nn₁x + n₂y + n₃z = d
SP 6.2.1SP 6.2.2SP 6.2.3

SP 6.2.2Find the vector equation of a plane in the form r · n = d, given a point on the plane and a perpendicular vector;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (mencari)

Calon perlu mencari persamaan vektor satah r · n = d diberi satu titik pada satah dan vektor normal (berserenjang).

  1. IsiMencari d
    Huraian

    d = a · n dengan a vektor kedudukan titik pada satah.

    Contoh

    A(1, −2, 3), n = (2, 1, −1): d = 2 − 2 − 3 = −3, maka r · (2i + j − k) = −3.

  2. IsiMenyemak titik
    Huraian

    Titik P pada satah jika OP · n = d.

    Contoh

    (0, 0, 3) · (2, 1, −1) = −3, maka (0, 0, 3) terletak pada satah itu.

SP 6.2.3Convert the vector equation of a line or a plane to its Cartesian equation and vice versa;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Convert (menukar)

Calon perlu menukar persamaan vektor garis atau satah kepada persamaan Cartes dan sebaliknya.

  1. IsiGaris
    Huraian

    r = a + λb ⇔ (x − a₁)/b₁ = (y − a₂)/b₂ = (z − a₃)/b₃.

    Contoh

    r = (2, −1, 3) + λ(1, 4, −2) ⇔ (x − 2)/1 = (y + 1)/4 = (z − 3)/(−2).

  2. IsiSatah
    Huraian

    r · n = d ⇔ n₁x + n₂y + n₃z = d.

    Contoh

    r · (2i + j − k) = −3 ⇔ 2x + y − z = −3; sebaliknya 3x − y + 4z = 5 ⇔ r · (3i − j + 4k) = 5.

SP 6.2.4Find the coordinates of the point of intersection of two intersecting lines and determine the angle between the two intersecting lines;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (mencari)

Calon perlu mencari koordinat titik persilangan dua garis yang bersilang dan menentukan sudut antara kedua-dua garis.

  1. IsiTitik persilangan
    Huraian

    Samakan komponen kedua-dua persamaan garis, selesaikan dua persamaan untuk λ dan μ, dan semak persamaan ketiga.

    Contoh

    r = (1, 2, 0) + λ(1, −1, 1) dan r = (0, 0, 1) + μ(2, 1, 0): λ = 1, μ = 1, titik (2, 1, 1).

  2. IsiSudut antara garis
    Huraian

    cos θ = |b₁ · b₂|/(|b₁||b₂|) menggunakan vektor arah.

    Contoh

    Garis di atas: cos θ = |2 − 1|/(√3 √5) = 1/√15, θ ≈ 75.0°.

Peta pokokSudut dalam geometri vektor

Sudut θ
Garis-garis
  • cos θ = |b₁ · b₂|/(|b₁||b₂|)
Garis-satah
  • sin θ = |b · n|/(|b||n|)
Satah-satah
  • cos θ = |n₁ · n₂|/(|n₁||n₂|)
SP 6.2.4SP 6.2.5SP 6.2.6

Peta alirContoh: L₁ r = (1, 1, 0) + λ(1, 0, 1), L₂ r = (2, 0, 1) + μ(0, 1, 0)

  1. Samakan komponen: 1 + λ = 2, 1 = μ, λ = 1 + 0μ.
  2. λ = 1 dan μ = 1 memenuhi ketiga-tiga persamaan.
  3. Titik persilangan (2, 1, 1).
  4. Sudut: (1, 0, 1) · (0, 1, 0) = 0, maka θ = 90°.
SP 6.2.4

SP 6.2.5Find the coordinates of the point of intersection of a line and a plane, and determine the angle between the line and the plane;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (mencari)

Calon perlu mencari titik persilangan garis dengan satah dan menentukan sudut antara garis dengan satah.

  1. IsiTitik persilangan
    Huraian

    Gantikan titik am garis ke dalam persamaan satah dan selesaikan λ.

    Contoh

    r = (0, 1, 2) + λ(1, 1, −1) dengan x + 2y + z = 9: 2λ + 4 = 9, λ = 2.5, titik (2.5, 3.5, −0.5).

  2. IsiSudut garis-satah
    Huraian

    sin θ = |b · n|/(|b||n|) kerana θ diukur dari satah, bukan dari normal.

    Contoh

    Contoh di atas: sin θ = 2/(√3 √6) ≈ 0.471, θ ≈ 28.1°.

Peta alirContoh: garis r = (1, 0, 2) + λ(2, 1, −1) bersilang satah 2x − y + z = 3

  1. Titik am garis: (1 + 2λ, λ, 2 − λ).
  2. Ganti: 2(1 + 2λ) − λ + (2 − λ) = 3 ⇒ 4 + 2λ = 3 ⇒ λ = −1/2.
  3. Titik persilangan (0, −1/2, 5/2).
  4. Sudut: sin θ = |4 − 1 − 1|/(√6 √6) = 1/3, θ ≈ 19.5°.
SP 6.2.5

SP 6.2.6Find the equation of the line of intersection of two non-parallel planes and determine the angle between the two non-parallel planes.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (mencari)

Calon perlu mencari persamaan garis persilangan dua satah yang tidak selari dan menentukan sudut antara kedua-dua satah.

  1. IsiGaris persilangan
    Huraian

    Arah = n₁ × n₂; cari satu titik sepunya dengan menetapkan satu koordinat.

    Contoh

    x + y − z = 1 dan 2x − y + z = 5: n₁ × n₂ = (0, −3, −3) ∥ (0, 1, 1); biar z = 0 memberi (2, −1, 0); r = (2, −1, 0) + t(0, 1, 1).

  2. IsiSudut antara satah
    Huraian

    cos θ = |n₁ · n₂|/(|n₁||n₂|).

    Contoh

    Satah di atas: n₁ · n₂ = 2 − 1 − 1 = 0, maka kedua-dua satah berserenjang (θ = 90°).

Peta alirContoh: garis persilangan x + y + z = 6 dan x − y + z = 2

  1. Arah = n₁ × n₂ = (1, 1, 1) × (1, −1, 1) = (2, 0, −2), atau (1, 0, −1).
  2. Titik sepunya: biar z = 0, x + y = 6, x − y = 2 ⇒ (4, 2, 0).
  3. Garis: r = (4, 2, 0) + t(1, 0, −1).
  4. Sudut antara satah: cos θ = |1 − 1 + 1|/(√3 √3) = 1/3, θ ≈ 70.5°.
SP 6.2.6

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

GGS
Tiga sudut: Garis-garis (kos), Garis-satah (sin), Satah-satah (kos)

Kad imbas

Persamaan vektor garis
r = a + λb
Persamaan vektor satah
r · n = d, d = a · n
Sudut garis dengan satah
sin θ = |b · n|/(|b||n|)
Arah garis persilangan dua satah
n₁ × n₂
Garis Cartes dari r = (1, 0, 2) + λ(2, 1, −1)
(x − 1)/2 = y = (z − 2)/(−1)

Semak kefahaman

  1. Tulis persamaan vektor garis yang melalui titik (4, −1, 2) dengan vektor arah 3i + j − 5k. (SP 6.2.1)

    Lihat jawapan

    r = a + λb, iaitu r = (4i − j + 2k) + λ(3i + j − 5k).

  2. Cari persamaan vektor satah yang melalui titik (1, 4, −2) dan berserenjang dengan vektor n = 2i − j + 3k. (SP 6.2.2)

    Lihat jawapan

    d = a · n = 2 − 4 − 6 = −8, maka r · (2i − j + 3k) = −8.

  3. Tukarkan persamaan satah r · (4i − 2j + k) = 7 kepada bentuk Cartes. (SP 6.2.3)

    Lihat jawapan

    r = xi + yj + zk, maka r · (4i − 2j + k) = 4x − 2y + z = 7.

  4. Cari titik persilangan garis r = (1, 0, 2) + λ(1, 1, 0) dan r = (3, 1, 0) + μ(0, 1, 2). (SP 6.2.4)

    Lihat jawapan

    Samakan komponen: 1 + λ = 3 memberi λ = 2; λ = 1 + μ memberi μ = 1; semak z: 2 = 0 + 2(1). Titik persilangan (3, 2, 2).

  5. Cari titik persilangan garis r = (2, 1, 0) + λ(1, −1, 2) dengan satah x + y + z = 7. (SP 6.2.5)

    Lihat jawapan

    Titik am (2 + λ, 1 − λ, 2λ); ganti: 2 + λ + 1 − λ + 2λ = 3 + 2λ = 7, maka λ = 2 dan titik persilangan (4, −1, 4).

  6. Cari sudut antara satah x + y + z = 6 dan satah 2x − y + 2z = 1, betul kepada 0.1°. (SP 6.2.6)

    Lihat jawapan

    n₁ · n₂ = 2 − 1 + 2 = 3; |n₁| = √3, |n₂| = 3; cos θ = 3/(3√3) = 1/√3, maka θ = 54.7°.

16 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan makna a, b dalam r = a + λb dan n dalam r · n = d dengan model garis dan satah daripada lidi dan kad.

    Bukti hasil kerja: Penerangan lisan dan model lidi serta kad.

    SP disasar: 6.2.1, 6.2.2 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menukar persamaan vektor garis dan satah kepada persamaan Cartesan dan sebaliknya, kemudian mencari titik persilangan dua garis dan sudut antaranya.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja penukaran dan persilangan garis.

    SP disasar: 6.2.3, 6.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis kedudukan garis dan satah dan menentukan titik persilangan serta sudut garis dan satah menggunakan perisian geometri 3D.

    Bukti hasil kerja: Pengiraan dan tangkapan skrin perisian 3D.

    SP disasar: 6.2.5, 6.2.6 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Mencipta

    Aktiviti: Murid mereka sebuah model bangunan ringkas dengan dua satah dinding, mencari persamaan garis persilangan satah dan sudut antara satah, dan membentangkan penyelesaian.

    Bukti hasil kerja: Model rekaan, pengiraan dan pembentangan.

    SP disasar: 6.2.2, 6.2.5, 6.2.6 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Vectors and Geometry

  1. 6.1 Vectors in three dimensions
  2. 6.2 Three-dimensional vector geometry