Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Differentiation

8.2 Curve sketching

Unit ini menggunakan terbitan untuk menentukan selang menokok dan menyusut, titik maksimum dan minimum setempat, kecekungan (concavity), titik lengkok balas (point of inflexion) serta melakar lengkung algebra, eksponen, logaritma dan trigonometri.

  • STPM
  • 5 SP
  • 16 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 8.2.1Determine the intervals on which a function is increasing and decreasing;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Determine (menentukan)

Calon perlu menentukan selang di mana fungsi menokok (increasing) dan menyusut (decreasing) menggunakan tanda f′(x).

  1. IsiTanda terbitan pertama
    Huraian

    f′(x) > 0: menokok; f′(x) < 0: menyusut.

    Contoh

    f(x) = x³ − 12x: f′(x) = 3x² − 12; menokok bagi x < −2 atau x > 2, menyusut bagi −2 < x < 2.

  2. IsiFungsi trigonometri
    Huraian

    Selesaikan ketaksamaan f′(x) > 0 dalam domain yang diberi.

    Contoh

    y = 2x − tan x, −π/2 < x < π/2: y′ = 2 − sec² x > 0 apabila −π/4 < x < π/4 (menokok); menyusut bagi −π/2 < x < −π/4 dan π/4 < x < π/2.

JadualUjian terbitan

SyaratKesimpulan
f′(x) > 0 pada selangf menokok (increasing)
f′(x) < 0 pada selangf menyusut (decreasing)
f′(a) = 0, f′ bertukar + ke −Maksimum setempat (ujian terbitan pertama)
f′(a) = 0, f″(a) > 0Minimum setempat (ujian terbitan kedua)
f″(x) > 0Cekung ke atas (concave upward)
f″ bertukar tanda pada x = aTitik lengkok balas
SP 8.2.1SP 8.2.2SP 8.2.3

Peta alirContoh: f(x) = x³ − 3x

  1. f′(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1.
  2. Menokok x < −1 atau x > 1; menyusut −1 < x < 1.
  3. f″(x) = 6x: f″(−1) < 0 maksimum (−1, 2); f″(1) > 0 minimum (1, −2).
  4. f″ = 0 pada x = 0 dan bertukar tanda: titik lengkok balas (0, 0).
  5. Pintasan: x = 0, ±√3. Lakar lengkung kubik melalui ciri ini.
SP 8.2.1SP 8.2.2SP 8.2.3SP 8.2.4

SP 8.2.2Use the first derivative test or second derivative test to determine local minimum points and local maximum points;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)

Calon perlu menggunakan ujian terbitan pertama atau ujian terbitan kedua untuk menentukan titik minimum dan maksimum setempat. Titik ekstremum di hujung selang dikecualikan.

  1. IsiUjian terbitan pertama
    Huraian

    f′ bertukar + ke −: maksimum; − ke +: minimum.

    Contoh

    y = 2x − tan x: y′ bertukar + ke − di x = π/4, maka maksimum (π/4, π/2 − 1); minimum (−π/4, 1 − π/2).

  2. IsiUjian terbitan kedua
    Huraian

    f′(a) = 0 dan f″(a) < 0: maksimum; f″(a) > 0: minimum; f″(a) = 0: ujian gagal.

    Contoh

    f(x) = x³ − 12x: f″(2) = 12 > 0, minimum (2, −16); f″(−2) = −12 < 0, maksimum (−2, 16).

SP 8.2.3Determine the intervals on which a curve is concave upward and concave downward, and find points of inflexion;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Determine (menentukan)

Calon perlu menentukan selang di mana lengkung cekung ke atas (concave upward) dan cekung ke bawah (concave downward), dan mencari titik lengkok balas (point of inflexion).

  1. IsiTanda f″
    Huraian

    f″ > 0: cekung ke atas; f″ < 0: cekung ke bawah; titik lengkok balas apabila f″ bertukar tanda.

    Contoh

    f(x) = x³ − 12x: f″ = 6x, cekung ke bawah bagi x < 0, ke atas bagi x > 0, titik lengkok balas (0, 0).

  2. IsiFungsi eksponen
    Huraian

    Faktorkan f″ untuk mencari perubahan tanda.

    Contoh

    y = xe⁻ˣ: y″ = e⁻ˣ(x − 2), titik lengkok balas (2, 2e⁻²), cekung ke bawah bagi x < 2.

SP 8.2.4Sketch curves whose equations contain algebraic, exponential or logarithmic expressions, displaying their important features;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Sketch (melakar)

Calon perlu melakar lengkung yang mengandungi ungkapan algebra, eksponen atau logaritma dengan menunjukkan ciri penting, termasuk asimptot mengufuk, mencancang dan condong (oblique asymptote).

  1. IsiLengkung algebra dengan asimptot condong
    Huraian

    Tulis fungsi sebagai linear + baki; bahagian baki → 0 memberi asimptot condong.

    Contoh

    y = x + 4/x: asimptot x = 0 dan y = x; minimum (2, 4), maksimum (−2, −4).

  2. IsiLengkung logaritma atau eksponen
    Huraian

    Tentukan domain, asimptot, titik pegun dan kelakuan hujung.

    Contoh

    y = (ln x)/x: domain x > 0, asimptot x = 0, y → 0 apabila x → ∞, maksimum (e, 1/e).

Poin utamaCiri penting semasa melakar

  • Pintasan paksi
  • Asimptot (cth y = eˣ: y = 0; y = ln x: x = 0)
  • Titik pegun dan jenisnya
  • Titik lengkok balas
  • Kelakuan apabila x → ±∞ atau hujung domain terhad
SP 8.2.4SP 8.2.5

Peta buihy = xe⁻ˣ

y = xe⁻ˣ
dy/dx = e⁻ˣ(1 − x)Maksimum (1, 1/e)y → 0 apabila x → ∞Melalui asalan
SP 8.2.4

SP 8.2.5Sketch trigonometric curves for restricted domains displaying their important features.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Sketch (melakar)

Calon perlu melakar lengkung trigonometri bagi domain terhad dengan menunjukkan ciri penting.

  1. IsiTitik pegun
    Huraian

    Selesaikan y′ = 0 dalam domain dan tentukan jenisnya.

    Contoh

    y = cos x/(2 + sin x), 0 < x < 2π: y′ = −(2 sin x + 1)/(2 + sin x)² = 0 ⇒ sin x = −1/2; minimum (7π/6, −1/√3), maksimum (11π/6, 1/√3).

  2. IsiAsimptot dan pintasan
    Huraian

    Kenal pasti asimptot mencancang dan pintasan dalam domain terhad.

    Contoh

    y = 2x − tan x, −π/2 < x < π/2: asimptot x = ±π/2, melalui asalan, maksimum (π/4, π/2 − 1 ≈ 0.571).

Peta alirContoh: y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π

  1. Pintasan: sin 2x = 0 ⇒ x = 0, π/2, π.
  2. dy/dx = 2 cos 2x = 0 ⇒ x = π/4, 3π/4.
  3. Maksimum (π/4, 1); minimum (3π/4, −1).
  4. Titik lengkok balas pada (π/2, 0).
SP 8.2.5

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

PATLK
Lakar: Pintasan, Asimptot, Titik pegun, Lengkok balas, Kelakuan hujung

Kad imbas

f′(x) > 0
f menokok
f′(a) = 0, f″(a) < 0
Maksimum setempat
Titik lengkok balas
f″ bertukar tanda
Asimptot y = ln x
x = 0
Maksimum y = sin 2x dalam [0, π]
(π/4, 1)

Semak kefahaman

  1. Tentukan selang di mana f(x) = x³ − 6x² + 5 menokok (increasing). (SP 8.2.1)

    Lihat jawapan

    f′(x) = 3x² − 12x = 3x(x − 4); f′(x) ＞ 0 apabila x ＜ 0 atau x ＞ 4, maka f menokok bagi x ＜ 0 atau x ＞ 4.

  2. Cari titik pegun bagi y = x³ − 3x² − 9x + 2 dan tentukan jenisnya menggunakan ujian terbitan kedua (second derivative test). (SP 8.2.2)

    Lihat jawapan

    y′ = 3(x − 3)(x + 1) = 0 memberi x = −1, 3; y″ = 6x − 6: y″(−1) = −12 ＜ 0, maka (−1, 7) maksimum; y″(3) = 12 ＞ 0, maka (3, −25) minimum.

  3. Cari titik lengkok balas (point of inflexion) bagi y = x³ + 3x² − 2. (SP 8.2.3)

    Lihat jawapan

    y″ = 6x + 6 = 0 memberi x = −1 dan y″ bertukar tanda di situ; y = −1 + 3 − 2 = 0, maka titik lengkok balas (−1, 0).

  4. Nyatakan persamaan asimptot-asimptot bagi y = (x² − 1)/(x − 2). (SP 8.2.4)

    Lihat jawapan

    x² − 1 = (x − 2)(x + 2) + 3, maka y = x + 2 + 3/(x − 2): asimptot mencancang x = 2 dan asimptot condong y = x + 2.

  5. Cari pintasan-x bagi y = 2 sin x − 1, 0 ≤ x ≤ 2π. (SP 8.2.5)

    Lihat jawapan

    2 sin x − 1 = 0 memberi sin x = 1/2, maka x = π/6 dan x = 5π/6.

16 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan kaitan tanda f′(x) dengan fungsi menokok atau menyusut, dan tanda f″(x) dengan kecekungan, menggunakan graf dan jadual tanda.

    Bukti hasil kerja: Jadual tanda dan penerangan lisan.

    SP disasar: 8.2.1, 8.2.3 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mencari selang menokok dan menyusut, titik pegun, nilai maksimum dan minimum tempatan melalui ujian terbitan pertama atau kedua, serta titik lengkok balas.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja titik pegun dan lengkok balas.

    SP disasar: 8.2.1, 8.2.2, 8.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis ciri penting seperti pintasan, asimptot dan titik pegun bagi fungsi algebra, eksponen atau logaritma sebelum melakar lengkung dan menyemak dengan perisian graf.

    Bukti hasil kerja: Lakaran lengkung bertanda ciri dan semakan perisian.

    SP disasar: 8.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Mencipta

    Aktiviti: Murid mereka satu fungsi kubik atau eksponen yang mempunyai ciri tertentu (contoh: maksimum di x = 1 dan lengkok balas di x = 2), menulis persamaannya dan melakar lengkung. Murid juga melakar fungsi trigonometri pada domain terhad.

    Bukti hasil kerja: Fungsi rekaan, pengiraan dan lakaran.

    SP disasar: 8.2.4, 8.2.5 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Differentiation

  1. 8.1 Derivatives and rules of differentiation
  2. 8.2 Curve sketching
  3. 8.3 Rates of change and optimisation problems