8.3 Rates of change and optimisation problems
Unit ini menyelesaikan masalah kadar perubahan (rates of change) yang berkait dan masalah pengoptimuman (optimisation) menggunakan pembezaan.
SP 8.3.1Solve problems concerning rates of change;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Solve (menyelesaikan)
Calon perlu menyelesaikan masalah kadar perubahan (rates of change), termasuk kadar perubahan berkait (related rates).
- IsiPetua rantaiHuraian
dA/dt = dA/dr × dr/dt; bezakan dahulu, gantikan nilai kemudian.
ContohBelon sfera: r = 10 cm, dr/dt = 0.5 cm s⁻¹: dV/dt = 4π(100)(0.5) = 200π cm³ s⁻¹.
- IsiKadar berkait dalam bekasHuraian
Ungkap isipadu dalam satu pemboleh ubah, kemudian kaitkan kadarnya.
ContohSilinder jejari 5 cm, air masuk 50 cm³ s⁻¹: V = 25πh, dh/dt = 50/(25π) = 2/π ≈ 0.637 cm s⁻¹.
NotaKadar perubahan berkait
Jika A bergantung pada r dan r berubah dengan masa t, maka dA/dt = dA/dr × dr/dt (petua rantai).
Peta alirContoh: jejari bulatan bertambah 2 cm s⁻¹; cari kadar luas apabila r = 5 cm
- A = πr², dA/dr = 2πr.
- dA/dt = 2πr × dr/dt.
- = 2π(5)(2) = 20π cm² s⁻¹.
SP 8.3.2Solve optimisation problems.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Solve (menyelesaikan)
Calon perlu menyelesaikan masalah pengoptimuman (optimisation) dengan membentuk fungsi satu pemboleh ubah, membeza dan mengesahkan nilai optimum.
- IsiMemaksimumkanHuraian
Tulis kuantiti dalam satu pemboleh ubah, selesaikan dQ/dx = 0, sahkan dengan terbitan kedua, tolak nilai yang tidak bermakna.
ContohKotak terbuka dari kepingan 12 cm × 12 cm: V = x(12 − 2x)², V′ = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 ⇒ x = 2 (x = 6 ditolak), V maksimum 128 cm³.
- IsiMeminimumkanHuraian
Guna kekangan untuk menghapus satu pemboleh ubah.
ContohTin silinder 1000 cm³: A = 2πr² + 2000/r, A′ = 4πr − 2000/r² = 0 ⇒ r³ = 500/π, r ≈ 5.42 cm; A″ > 0 maka minimum.
Peta alirContoh: pagar 100 m untuk tiga sisi kandang di tepi dinding
- Biar lebar w dan panjang selari dinding L: L + 2w = 100.
- A = w(100 − 2w) = 100w − 2w².
- dA/dw = 100 − 4w = 0 ⇒ w = 25.
- d²A/dw² = −4 < 0, maka maksimum.
- Luas maksimum = 25 × 50 = 1250 m².
Peta pelbagai alirLangkah pengoptimuman
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- KBUS
- Optimum: Kuantiti, Bezakan, Uji terbitan kedua, Simpulkan
Kad imbas
- Petua kadar berkait
- dA/dt = dA/dr × dr/dt
- dV/dt bagi sfera
- 4πr² dr/dt
- Syarat titik optimum
- dQ/dx = 0
- Sahkan maksimum
- d²Q/dx² < 0
Semak kefahaman
Jejari suatu bulatan bertambah dengan kadar 0.3 cm s⁻¹. Cari kadar perubahan lilitan bulatan itu. (SP 8.3.1)
Lihat jawapan
C = 2πr, maka dC/dt = 2π × dr/dt = 2π(0.3) = 0.6π ≈ 1.88 cm s⁻¹.
Sekeping dawai sepanjang 40 cm dibengkokkan menjadi segi empat tepat. Cari luas maksimum segi empat tepat itu. (SP 8.3.2)
Lihat jawapan
2x + 2y = 40 memberi y = 20 − x; A = x(20 − x), dA/dx = 20 − 2x = 0 memberi x = 10; d²A/dx² = −2 ＜ 0, maka luas maksimum = 10 × 10 = 100 cm².
11 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menyenaraikan langkah menyelesaikan masalah kadar perubahan (rates of change) berkaitan menggunakan petua rantai dan langkah masalah pengoptimuman (optimisation) pada kad urutan.
Bukti hasil kerja: Susunan langkah penyelesaian yang betul.
SP disasar: 8.3.1, 8.3.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid menyelesaikan masalah kadar perubahan seperti belon yang mengembang dan paras air dalam kon, dengan menulis hubungan dan mendiferensiasi terhadap masa.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kadar perubahan berkaitan.
SP disasar: 8.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan isi padu atau luas permukaan sebuah kotak atau tin, mencari ukuran optimum dan menganalisis sama ada titik pegun ialah minimum menggunakan ujian terbitan kedua.
Bukti hasil kerja: Model matematik, ukuran optimum dan ujian.
SP disasar: 8.3.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Mencipta
Aktiviti: Murid mereka satu masalah pengoptimuman daripada situasi sebenar (contoh: reka bentuk bekas makanan), menyelesaikannya dan menjustifikasi kebolehlaksanaan jawapan.
Bukti hasil kerja: Masalah rekaan, penyelesaian dan justifikasi.
SP disasar: 8.3.1, 8.3.2 · Latihan sepadan: aras Mencipta
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.