9.2 Techniques of integration
Unit ini meliputi teknik pengamiran (integration): bentuk kf′(x)g[f(x)], pecahan separa (partial fractions), identiti trigonometri, kamiran bahagian demi bahagian (integration by parts) dan penggantian (substitution).
SP 9.2.1Recognise integrands of the form kf′(x)g[f(x)] and integrate such functions;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Recognise (mengecam)
Calon perlu mengecam integran berbentuk kf′(x)g[f(x)] dan mengamirnya.
- IsiBentuk f′(x)[f(x)]ⁿHuraian
Kenal pasti f(x) dan semak f′(x) ada dalam integran (hingga gandaan k).
Contoh∫ 3x²(x³ + 2)⁴ dx = (x³ + 2)⁵/5 + c.
- IsiBentuk f′(x)/f(x)Huraian
∫ f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + c.
Contoh∫ cos x/(1 + sin x) dx = ln|1 + sin x| + c; ∫ tan x dx = −ln|cos x| + c.
Peta pokokPemilihan teknik
- ∫ 2x(x² + 1)⁴ dx = (x² + 1)⁵/5 + c
- ∫ f′/f dx = ln|f| + c
- Fungsi nisbah dengan penyebut boleh difaktor
- sin² x = (1 − cos 2x)/2
- cos² x = (1 + cos 2x)/2
- tan² x = sec² x − 1
- ∫ u dv = uv − ∫ v du
- cth x eˣ, x cos x, ln x
- Algebra: u = x + 1
- Eksponen/log: u = ln x
- Kamiran trigonometri: u = sin x, u = cos x, u = tan x
NotaBentuk kf′(x)g[f(x)]
Jika integran berbentuk k f′(x) g[f(x)], gantikan u = f(x) supaya du = f′(x) dx; kamiran menjadi k ∫ g(u) du. Kes khas: ∫ f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + c dan ∫ f′(x)[f(x)]ⁿ dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/(n + 1) + c, n ≠ −1.
SP 9.2.2Use partial fraction decomposition to integrate rational functions;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)
Calon perlu menggunakan penguraian pecahan separa (partial fraction decomposition) untuk mengamir fungsi nisbah. Penyebut yang lebih rumit daripada (ax + b)(cx + d)² dikecualikan.
- IsiFaktor linear berbezaHuraian
Tulis A/(faktor 1) + B/(faktor 2), cari A dan B dengan gantian.
Contoh(3x + 1)/((x + 1)(x − 1)) = 1/(x + 1) + 2/(x − 1); kamiran = ln|x + 1| + 2 ln|x − 1| + c.
- IsiFaktor linear berulangHuraian
Bagi (ax + b)(cx + d)², guna A/(ax + b) + B/(cx + d) + C/(cx + d)².
Contoh1/(x(x + 1)²) = 1/x − 1/(x + 1) − 1/(x + 1)²; kamiran = ln|x| − ln|x + 1| + 1/(x + 1) + c.
Peta alirContoh: ∫ 1/((x − 1)(x + 1)) dx
- 1/((x − 1)(x + 1)) = A/(x − 1) + B/(x + 1).
- 1 = A(x + 1) + B(x − 1): x = 1 ⇒ A = 1/2; x = −1 ⇒ B = −1/2.
- Kamir: (1/2) ln|x − 1| − (1/2) ln|x + 1| + c.
- = (1/2) ln|(x − 1)/(x + 1)| + c.
SP 9.2.3Use trigonometric identities to integrate trigonometric functions;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)
Calon perlu menggunakan identiti trigonometri untuk mengamir fungsi trigonometri.
- IsiPenurunan kuasaHuraian
sin² x = (1 − cos 2x)/2, cos² x = (1 + cos 2x)/2, tan² x = sec² x − 1.
Contoh∫ cos² x dx = x/2 + sin 2x/4 + c.
- IsiHasil darab kepada hasil tambahHuraian
2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B).
Contoh∫ sin 3x cos x dx = (1/2)∫ (sin 4x + sin 2x) dx = −cos 4x/8 − cos 2x/4 + c.
SP 9.2.4Perform integration by parts;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Perform (melakukan)
Calon perlu melakukan kamiran bahagian demi bahagian (integration by parts) dengan pilihan u dan dv yang wajar.
- IsiRumus dan pilihan uHuraian
∫ u dv = uv − ∫ v du; pilih u yang menjadi lebih mudah apabila dibeza.
Contoh∫ x² ln x dx: u = ln x, dv = x² dx, jawapan (x³/3) ln x − x³/9 + c.
- IsiKamiran tentuHuraian
[uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.
Contoh∫₀^(π/2) x sin x dx = [−x cos x + sin x]₀^(π/2) = 1.
Peta alirContoh: ∫ x eˣ dx (bahagian demi bahagian)
- Pilih u = x (dibeza menjadi mudah), dv = eˣ dx.
- du = dx, v = eˣ.
- ∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx.
- = x eˣ − eˣ + c.
SP 9.2.5Use substitutions to evaluate integrals involving algebraic, exponential or logarithmic expressions;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)
Calon perlu menggunakan penggantian (substitution) untuk menilai kamiran yang melibatkan ungkapan algebra, eksponen atau logaritma.
- IsiPenggantian algebraHuraian
Tukar x, dx dan had kepada u.
Contoh∫₁⁵ x/√(2x − 1) dx dengan u = 2x − 1: (1/4)∫₁⁹ (u^(1/2) + u^(−1/2)) du = 16/3.
- IsiPenggantian logaritmaHuraian
u = ln x memberi du = dx/x.
Contoh∫₁^e (ln x)²/x dx = ∫₀¹ u² du = 1/3.
Peta alirContoh: ∫₀³ x√(x + 1) dx dengan u = x + 1
- u = x + 1, du = dx, x = u − 1; had u: 1 hingga 4.
- ∫₁⁴ (u − 1)u^(1/2) du = ∫₁⁴ (u^(3/2) − u^(1/2)) du.
- = [(2/5)u^(5/2) − (2/3)u^(3/2)]₁⁴.
- = (64/5 − 16/3) − (2/5 − 2/3) = 116/15.
SP 9.2.6Use substitutions to evaluate trigonometric integrals.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Use (menggunakan)
Calon perlu menggunakan penggantian untuk menilai kamiran trigonometri (penggantian trigonometri bagi ungkapan algebra dikecualikan).
- Isiu = sin x atau u = cos xHuraian
Pilih u supaya du muncul dalam integran.
Contoh∫ sin⁴ x cos x dx = sin⁵ x/5 + c (u = sin x).
- Isiu = tan x dengan hadHuraian
du = sec² x dx; tukar had.
Contoh∫₀^(π/3) tan x sec² x dx = ∫₀^(√3) u du = 3/2.
Peta alirContoh: ∫₀^(π/2) sin x cos² x dx dengan u = cos x
- u = cos x, du = −sin x dx; had u: 1 hingga 0.
- ∫₁⁰ −u² du = ∫₀¹ u² du.
- = [u³/3]₀¹ = 1/3.
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- LIATE
- Pilihan u dalam bahagian demi bahagian: Logaritma, songsang trIgonometri (Inverse), Algebra, Trigonometri, Eksponen
Kad imbas
- ∫ f′(x)/f(x) dx
- ln|f(x)| + c
- Rumus bahagian demi bahagian
- ∫ u dv = uv − ∫ v du
- sin² x dalam cos 2x
- (1 − cos 2x)/2
- ∫ ln x dx
- x ln x − x + c
- Penggantian kamiran tentu
- Tukar had kepada had u
- ∫ tan² x dx
- tan x − x + c
Semak kefahaman
Cari ∫ x(x² − 1)³ dx. (SP 9.2.1)
Lihat jawapan
f(x) = x² − 1, f′(x) = 2x; ∫ x(x² − 1)³ dx = (1/2) × (x² − 1)⁴/4 + c = (x² − 1)⁴/8 + c.
Ungkapkan (5x − 1)/((x + 1)(x − 2)) dalam pecahan separa (partial fractions). (SP 9.2.2)
Lihat jawapan
5x − 1 = A(x − 2) + B(x + 1); x = 2: 9 = 3B, B = 3; x = −1: −6 = −3A, A = 2. Maka 2/(x + 1) + 3/(x − 2).
Cari ∫ tan² x dx. (SP 9.2.3)
Lihat jawapan
tan² x = sec² x − 1, maka ∫ (sec² x − 1) dx = tan x − x + c.
Cari ∫ x e^(2x) dx. (SP 9.2.4)
Lihat jawapan
u = x, dv = e^(2x) dx, v = e^(2x)/2: ∫ x e^(2x) dx = x e^(2x)/2 − ∫ e^(2x)/2 dx = x e^(2x)/2 − e^(2x)/4 + c.
Gunakan gantian u = 1 + ln x untuk menilai ∫₁^e 1/(x(1 + ln x)) dx. (SP 9.2.5)
Lihat jawapan
du = dx/x; x = 1 memberi u = 1, x = e memberi u = 2; ∫₁² (1/u) du = ln 2 − ln 1 = ln 2 ≈ 0.693.
Gunakan gantian u = cos x untuk mencari ∫ cos⁴ x sin x dx. (SP 9.2.6)
Lihat jawapan
du = −sin x dx, maka ∫ cos⁴ x sin x dx = −∫ u⁴ du = −u⁵/5 + c = −cos⁵ x/5 + c.
21 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid memadankan jenis kamiran dengan teknik yang sesuai: kf′(x)g[f(x)], pecahan separa, identiti trigonometri, kamiran bahagian dan penggantian, melalui kad padanan.
Bukti hasil kerja: Kad padanan teknik dan kamiran.
SP disasar: 9.2.1, 9.2.2, 9.2.3, 9.2.4, 9.2.5, 9.2.6 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mengamiri fungsi nisbah dengan pecahan separa (partial fractions), serta kamiran trigonometri dengan identiti sudut berganda.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pecahan separa dan identiti.
SP disasar: 9.2.2, 9.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis pilihan u dan dv dalam kamiran bahagian (integration by parts) bagi x e^x dan x ln x, membandingkan pilihan yang berjaya dan gagal.
Bukti hasil kerja: Jadual pilihan u dan dv dengan hasil.
SP disasar: 9.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai teknik terbaik bagi lima kamiran (penggantian algebra, eksponen atau trigonometri), menyelesaikannya dan mewajarkan pilihan teknik.
Bukti hasil kerja: Jadual pilihan teknik dan justifikasi.
SP disasar: 9.2.1, 9.2.5, 9.2.6 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.