Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 4 (SPM) · 3.0 PENAAKULAN LOGIK

3.1 Pernyataan

Anda akan mengenal pernyataan, menafikan pernyataan, menentukan nilai kebenaran pernyataan majmuk dan implikasi serta menggunakan contoh penyangkal.

  • KSSM
  • 6 SP
  • 17 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tingkatan 4

SP 3.1.1Menerangkan maksud pernyataan dan seterusnya menentukan nilai kebenaran bagi suatu pernyataan.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menerangkan

Murid menerangkan pernyataan (ayat benar atau palsu, bukan kedua-duanya) termasuk yang menggunakan simbol dan pengkuantiti "semua" dan "sebilangan", lalu menentukan nilai kebenarannya.

  1. IsiPernyataan atau bukan
    Huraian

    Pernyataan boleh ditentukan benar atau palsu; soalan, arahan dan ayat dengan pemboleh ubah tanpa nilai bukan pernyataan.

    Contoh

    "8 > 3" ialah pernyataan benar; "2x − 1 = 5" bukan pernyataan.

  2. IsiPengkuantiti
    Huraian

    "Semua" benar hanya jika setiap kes benar; "sebilangan" benar jika sekurang-kurangnya satu kes benar.

    Contoh

    "Semua kuasa dua nombor genap ialah genap" benar; "Sebilangan segi tiga mempunyai sudut tegak" benar.

NotaPernyataan dan nilai kebenaran

Pernyataan ialah ayat yang benar atau palsu tetapi bukan kedua-duanya. Contoh: '5 ialah nombor perdana' (benar), '2 + 3 = 7' (palsu). Ayat tanya, ayat perintah, ayat seruan dan ayat yang mengandungi pemboleh ubah tanpa nilai seperti 'x + 2 = 5' bukan pernyataan. Pengkuantiti 'semua' dan 'sebilangan' juga menentukan nilai kebenaran: 'Semua nombor perdana ialah nombor ganjil' palsu, 'Sebilangan nombor perdana ialah nombor ganjil' benar.

SP 3.1.1

SP 3.1.2Menafikan suatu pernyataan.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menafikan

Murid menafikan pernyataan dengan "bukan" atau "tidak" dan menentukan nilai kebenaran yang bertukar.

  1. IsiBentuk penafian
    Huraian

    ~p dibentuk dengan "bukan" atau "tidak".

    Contoh

    p: 7 ialah faktor bagi 21; ~p: 7 bukan faktor bagi 21.

  2. IsiNilai kebenaran bertukar
    Huraian

    Jika p benar, ~p palsu dan sebaliknya.

    Contoh

    p: √9 = 4 (palsu); ~p: √9 ≠ 4 (benar).

NotaPenafian

Penafian pernyataan p ditulis ~p dan dibentuk dengan menambah 'bukan' atau 'tidak'. Jika p benar, ~p palsu; jika p palsu, ~p benar. Contoh: p: 9 ialah nombor genap (palsu); ~p: 9 bukan nombor genap (benar).

SP 3.1.2

SP 3.1.3Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majmuk.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid menentukan nilai kebenaran pernyataan majmuk yang menggabungkan dua pernyataan dengan "dan" atau "atau".

  1. Isi"p dan q"
    Huraian

    Benar hanya jika kedua-dua p dan q benar.

    Contoh

    "3 ialah perdana dan 4 ialah genap" benar.

  2. Isi"p atau q"
    Huraian

    Palsu hanya jika kedua-dua p dan q palsu.

    Contoh

    "5 < 2 atau 9 ialah perdana" palsu kerana kedua-duanya palsu.

JadualJadual kebenaran pernyataan majmuk

pqp dan qp atau q
BenarBenarBenarBenar
BenarPalsuPalsuBenar
PalsuBenarPalsuBenar
PalsuPalsuPalsuPalsu
SP 3.1.3

SP 3.1.4Membina pernyataan dalam bentuk implikasi (i) Jika p, maka q.
  1. Membina pernyataan dalam bentuk implikasi (ii) p jika dan hanya jika q.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Membina

Murid membina implikasi (i) "Jika p, maka q" dengan antejadian p dan akibat q, serta (ii) "p jika dan hanya jika q".

  1. Isi(i) Jika p, maka q
    Huraian

    p ialah antejadian, q ialah akibat.

    Contoh

    p: x = 5, q: 2x = 10 → "Jika x = 5, maka 2x = 10".

  2. Isi(ii) p jika dan hanya jika q
    Huraian

    Gabungan "Jika p, maka q" dan "Jika q, maka p".

    Contoh

    "Suatu nombor ialah genap jika dan hanya jika nombor itu boleh dibahagi tepat dengan 2".

Peta buih bergandaDua bentuk implikasi

Jika p, maka qHanya satu arah: p membawa kepada qPalsu hanya apabila p benar dan q palsu
PersamaanDibina daripada dua pernyataan p dan qp ialah antejadian, q ialah akibat
p jika dan hanya jika qDua arah: gabungan 'jika p, maka q' dan 'jika q, maka p'Benar apabila kedua-dua implikasi benar
SP 3.1.4

SP 3.1.5Membina dan membandingkan nilai kebenaran akas, songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Membina

Murid membina akas (jika q maka p), songsangan (jika ~p maka ~q) dan kontrapositif (jika ~q maka ~p) bagi implikasi matematik dan membandingkan nilai kebenarannya.

  1. IsiMembina tiga bentuk
    Huraian

    Akas tukar kedudukan; songsangan nafikan kedua-dua; kontrapositif tukar dan nafikan.

    Contoh

    "Jika x > 4, maka x > 2": akas "Jika x > 2, maka x > 4".

  2. IsiMembanding nilai kebenaran
    Huraian

    Implikasi dan kontrapositif sentiasa sama nilai kebenaran; akas dan songsangan sama sesama sendiri.

    Contoh

    Implikasi di atas benar; kontrapositif "Jika x ≤ 2, maka x ≤ 4" benar; akas palsu (x = 3).

JadualAkas, songsangan dan kontrapositif

BentukPernyataanContoh (jika x = 2, maka x² = 4)
ImplikasiJika p, maka qBenar
AkasJika q, maka pJika x² = 4, maka x = 2 (palsu, x boleh −2)
SongsanganJika ~p, maka ~qJika x ≠ 2, maka x² ≠ 4 (palsu)
KontrapositifJika ~q, maka ~pJika x² ≠ 4, maka x ≠ 2 (benar)
SP 3.1.5

Tahukah andaNilai kebenaran setara

Implikasi dan kontrapositifnya sentiasa mempunyai nilai kebenaran yang sama. Akas dan songsangan juga sentiasa mempunyai nilai kebenaran yang sama sesama sendiri.

SP 3.1.5

SP 3.1.6Menentukan contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran pernyataan tertentu.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Menentukan

Murid menentukan contoh penyangkal yang menunjukkan suatu pernyataan (berpengkuantiti, majmuk, penafian atau implikasi) palsu.

  1. IsiPenyangkal pengkuantiti "semua"
    Huraian

    Satu kes yang memenuhi syarat tetapi gagal kesimpulan.

    Contoh

    "Semua nombor ganjil ialah perdana": penyangkal 9.

  2. IsiPenyangkal implikasi
    Huraian

    Kes dengan antejadian benar tetapi akibat palsu.

    Contoh

    "Jika x² = 16, maka x = 4": penyangkal x = −4.

Peta alirContoh: contoh penyangkal

  1. Pernyataan: 'Semua nombor perdana ialah nombor ganjil.'
  2. Cari satu contoh yang memenuhi syarat tetapi tidak memenuhi kesimpulan.
  3. 2 ialah nombor perdana tetapi 2 ialah nombor genap.
  4. Maka 2 ialah contoh penyangkal dan pernyataan itu palsu.
SP 3.1.6

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

ASK
Akas (tukar tempat), Songsangan (nafi kedua-dua), Kontrapositif (tukar tempat dan nafi). Kontrapositif sentiasa setara dengan implikasi.

Kad imbas

Pernyataan
Ayat yang benar atau palsu tetapi bukan kedua-duanya
Bila 'p dan q' benar?
Hanya apabila p dan q kedua-duanya benar
Bila 'p atau q' palsu?
Hanya apabila p dan q kedua-duanya palsu
Kontrapositif bagi 'jika p, maka q'
Jika ~q, maka ~p
Contoh penyangkal
Contoh yang menunjukkan suatu pernyataan umum adalah palsu
p jika dan hanya jika q
Gabungan jika p maka q dan jika q maka p

Semak kefahaman

  1. Adakah 'x + 3 = 7' suatu pernyataan? Berikan sebab. (SP 3.1.1)

    Lihat jawapan

    Bukan pernyataan kerana nilai x tidak diberi, maka tidak dapat ditentukan benar atau palsu.

  2. Tulis penafian bagi 'Segi empat sama mempunyai empat sisi' dan nyatakan nilai kebenarannya. (SP 3.1.2)

    Lihat jawapan

    Segi empat sama tidak mempunyai empat sisi; penafian ini palsu.

  3. Tentukan nilai kebenaran '4 ialah nombor genap dan 4 ialah nombor perdana'. (SP 3.1.3)

    Lihat jawapan

    Palsu, kerana 4 bukan nombor perdana; 'dan' benar hanya jika kedua-dua benar.

  4. Bina implikasi 'Jika p, maka q' dengan p: x = 3 dan q: x² = 9. (SP 3.1.4)

    Lihat jawapan

    Jika x = 3, maka x² = 9.

  5. Tulis kontrapositif bagi 'Jika suatu nombor ialah gandaan 4, maka nombor itu ialah nombor genap'. (SP 3.1.5)

    Lihat jawapan

    Jika suatu nombor bukan nombor genap, maka nombor itu bukan gandaan 4.

  6. Berikan satu contoh penyangkal bagi 'Semua gandaan 3 ialah nombor ganjil'. (SP 3.1.6)

    Lihat jawapan

    6 ialah gandaan 3 tetapi nombor genap, maka 6 ialah contoh penyangkal.

17 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Tahap Penguasaan (TP)

TPTafsiran
TP1Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.
TP2Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.
TP3Mengaplikasikan kefahaman tentang hujah deduktif dan hujah induktif untuk melaksanakan tugasan mudah.
TP4Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
TP5Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
TP6Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
Untuk guru: cadangan aktiviti mencapai TP (6)
  1. TP1

    Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.

    Aktiviti: Murid mengasingkan kad ayat kepada pernyataan dan bukan pernyataan, menyebut benar atau palsu, secara berpasangan dalam permainan kad.

    Evidens PBD: Pengasingan kad yang betul dan sebutan nilai kebenaran.

    SP disasar: 3.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. TP2

    Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.

    Aktiviti: Murid menulis penafian dan menentukan nilai kebenaran pernyataan majmuk dengan kata hubung dan atau melalui jadual kebenaran bagi lima pernyataan yang diberi.

    Evidens PBD: Jadual kebenaran dalam buku latihan.

    SP disasar: 3.1.2, 3.1.3 · Latihan sepadan: aras Memahami
  3. TP3

    Mengaplikasikan kefahaman tentang hujah deduktif dan hujah induktif untuk melaksanakan tugasan mudah.

    Aktiviti: Murid membina implikasi Jika p, maka q dan p jika dan hanya jika q, kemudian menulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi tentang segi empat sama.

    Evidens PBD: Pernyataan yang dibina dengan betul.

    SP disasar: 3.1.4, 3.1.5 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  4. TP4

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

    Aktiviti: Murid membandingkan nilai kebenaran akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi tentang nombor genap dan menjelaskan hubungannya dengan implikasi asal.

    Evidens PBD: Jadual nilai kebenaran dan penerangan.

    SP disasar: 3.1.5 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  5. TP5

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menilai pernyataan umum seperti Semua nombor perdana ialah ganjil, mencari contoh penyangkal dan membetulkan pernyataan itu serta menjustifikasi.

    Evidens PBD: Contoh penyangkal dan pernyataan yang dibetulkan.

    SP disasar: 3.1.6 · Latihan sepadan: aras Menilai dan Menghayati
  6. TP6

    Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.

    Aktiviti: Murid mereka teka-teki logik yang menggunakan pernyataan majmuk, implikasi dan contoh penyangkal, kemudian membentangkan kunci jawapan kepada kumpulan lain.

    Evidens PBD: Teka-teki dan kunci jawapan hasil murid.

    SP disasar: 3.1.6 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan sahaja; TP rasmi ditentukan guru melalui pertimbangan profesional (PBD). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 19 unit Matematik Tingkatan 4 untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Tingkatan 4

Unit lain dalam 3.0 PENAAKULAN LOGIK

  1. 3.1 Pernyataan
  2. 3.2 Hujah