Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Life Annuities and Life Insurance

15.1 Life annuities

Unit ini menggunakan jadual hayat (life table) untuk mencari kebarangkalian hidup dan mati, serta mengira nilai kini bayaran bersyarat hidup, endowmen tulen (pure endowment) dan anuiti hayat biasa (ordinary life annuity).

  • STPM
  • 4 SP
  • 13 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 15.1.1Use life table to find probabilities of surviving to or dying before certain ages;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use (Menggunakan)

Calon perlu menggunakan jadual hayat (life table) untuk mencari kebarangkalian seseorang hidup hingga atau mati sebelum umur tertentu.

  1. IsiKebarangkalian hidup dan mati
    Huraian

    npx = lx+n/lx; kebarangkalian mati sebelum x + n = 1 − npx.

    Contoh

    l30 = 96000, l50 = 88000: hidup hingga 50 = 0.9167; mati sebelum 50 = 0.0833.

  2. IsiMati dalam satu tahun
    Huraian

    qx = dx/lx dengan dx = lx − lx+1.

    Contoh

    l40 = 93000, l41 = 92500: d40 = 500, q40 = 500/93000 = 0.005376.

JadualSimbol dan rumus

SimbolMaksud / rumus
lxBilangan orang hidup pada umur x
dxBilangan mati antara umur x dan x + 1, dx = lx − lx+1
Kebarangkalian hidup n tahunnpx = lx+n/lx
Kebarangkalian mati dalam n tahunnqx = (lx − lx+n)/lx
Nilai kini bayaran P pada umur x + n jika hidupP vⁿ lx+n/lx, v = 1/(1 + i)
Endowmen tulen n tahunnEx = vⁿ lx+n/lx = Dx+n/Dx, Dx = vˣ lx
Anuiti hayat biasa (bayaran akhir tahun)ax = Nx+1/Dx, Nx = Dx + Dx+1 + ...
Anuiti hayat sementara n tahun (bayaran akhir tahun)ax:n = (Nx+1 − Nx+n+1)/Dx
SP 15.1.1SP 15.1.2SP 15.1.3SP 15.1.4

Peta alirContoh: l30 = 96000, l50 = 88000.

  1. Kebarangkalian hidup hingga 50: 88000/96000 = 0.9167.
  2. Kebarangkalian mati sebelum 50: 1 − 0.9167 = 0.0833.
SP 15.1.1

SP 15.1.2Calculate the present value of a future payment contingent upon a person’s survival;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (Mengira)

Calon perlu mengira nilai kini bayaran masa depan yang bergantung pada kemandirian (survival) seseorang.

  1. IsiDiskaun dan kebarangkalian
    Huraian

    Nilai kini = P × vⁿ × lx+n/lx dengan v = 1/(1 + i).

    Contoh

    RM10000 pada umur 50 kepada orang berumur 30 jika hidup, i = 5%: 10000 × 0.376889 × 0.916667 = RM3454.82.

  2. IsiLebih kecil daripada bayaran pasti
    Huraian

    Kebarangkalian hidup kurang daripada 1, jadi nilai kini bayaran bersyarat lebih kecil.

    Contoh

    Bayaran pasti RM10000 selepas 20 tahun bernilai RM3768.89 kini, lebih besar daripada RM3454.82.

Peta alirContoh endowmen tulen: RM10000 dibayar pada umur 50 kepada orang berumur 30 jika hidup, i = 5%.

  1. v²⁰ = (1.05)^−20 = 0.376889.
  2. Kebarangkalian hidup = 0.916667.
  3. Nilai kini = 10000 × 0.376889 × 0.916667 = RM3454.82.
SP 15.1.2SP 15.1.3

Peta pokokNilai kini bersyarat hayat

Bayaran bersyarat hidup
Satu bayaran
  • Bayaran pada umur x + n jika hidup
  • Endowmen tulen nEx
Siri bayaran
  • Anuiti hayat biasa ax = Nx+1/Dx
  • Bayaran setiap akhir tahun selagi hidup
SP 15.1.2SP 15.1.3SP 15.1.4

SP 15.1.3Calculate the present value of an n-year pure endowment;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (Mengira)

Calon perlu mengira nilai kini endowmen tulen n tahun (n-year pure endowment), nEx = vⁿ lx+n/lx = Dx+n/Dx.

  1. IsiGuna fungsi pertukaran
    Huraian

    nEx = Dx+n/Dx dengan Dx = vˣ lx.

    Contoh

    D45 = 800, D55 = 500: 10E45 = 0.625.

  2. IsiNilai kini bagi jumlah tertentu
    Huraian

    Darab nEx dengan jumlah bayaran.

    Contoh

    RM20000 pada umur 55 kepada orang berumur 45 jika hidup: 20000 × 0.625 = RM12500.

SP 15.1.4Calculate the present value of an ordinary life annuity.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (Mengira)

Calon perlu mengira nilai kini anuiti hayat biasa (bayaran akhir setiap tahun selagi hidup), termasuk anuiti hayat sementara n tahun seperti dalam catatan sukatan.

  1. IsiAnuiti hayat seumur hidup
    Huraian

    Bayaran RM1 pada akhir setiap tahun selagi orang berumur x masih hidup mempunyai nilai kini ax = Nx+1/Dx; darab dengan jumlah bayaran tahunan.

    Contoh

    D40 = 1000, N41 = 15000: a40 = 15000/1000 = 15; RM2000 setahun bernilai kini 2000 × 15 = RM30000.

  2. IsiAnuiti hayat sementara n tahun
    Huraian

    Bayaran akhir tahun selama n tahun selagi hidup: (Nx+1 − Nx+n+1)/Dx.

    Contoh

    D40 = 1000, N41 = 15000, N51 = 7000: (15000 − 7000)/1000 = 8; RM2000 setahun selama 10 tahun bernilai kini RM16000.

Peta alirContoh anuiti hayat: D40 = 1000, N41 = 15000. Nilai kini anuiti RM2000 setahun (akhir tahun) seumur hidup.

  1. a40 = N41/D40 = 15000/1000 = 15.
  2. Nilai kini = 2000 × 15 = RM30000.
SP 15.1.4

Peta alirContoh: anuiti hayat sementara 10 tahun. D40 = 1000, N41 = 15000, N51 = 7000; RM2000 setahun (akhir tahun) selagi hidup, maksimum 10 bayaran.

  1. Langkah 1: a40:10 = (N41 − N51)/D40 = (15000 − 7000)/1000 = 8.
  2. Langkah 2: Nilai kini = 2000 × 8 = RM16000.
  3. Langkah 3: Bandingkan dengan anuiti seumur hidup RM30000; tempoh terhad memberi nilai kini lebih kecil.
SP 15.1.4

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

HMEA
Hidup, Mati, Endowmen, Anuiti — urutan konsep anuiti hayat

Kad imbas

npx
lx+n/lx
nqx
1 − npx
Endowmen tulen nEx
vⁿ lx+n/lx = Dx+n/Dx
Anuiti hayat biasa ax
Nx+1/Dx
Nilai kini bayaran bersyarat hidup
Bayaran × vⁿ × kebarangkalian hidup

Semak kefahaman

  1. Diberi l25 = 98000 dan l45 = 91000. Hitung kebarangkalian orang berumur 25 hidup hingga umur 45. (SP 15.1.1)

    Lihat jawapan

    ₂₀p₂₅ = l45/l25 = 91000/98000 = 0.9286.

  2. RM10000 dibayar selepas 10 tahun jika masih hidup; v¹⁰ = 0.613913 (i = 5%) dan kebarangkalian hidup 0.9. Hitung nilai kini. (SP 15.1.2)

    Lihat jawapan

    10000 × 0.613913 × 0.9 = RM5525.22.

  3. D30 = 2000 dan D40 = 1200. Hitung 10E30. (SP 15.1.3)

    Lihat jawapan

    10E30 = D40/D30 = 1200/2000 = 0.6.

  4. D50 = 800 dan N51 = 9600. Hitung a50. (SP 15.1.4)

    Lihat jawapan

    a50 = N51/D50 = 9600/800 = 12.

13 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Mengingat

    Aktiviti: Murid membaca jadual hayat (life table) dan menyatakan bilangan yang hidup pada umur tertentu serta memadankan simbol seperti lₓ dan dₓ dengan makna.

    Bukti hasil kerja: Padanan simbol dan bacaan jadual hayat.

    SP disasar: 15.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mengira kebarangkalian hidup hingga umur tertentu dan meninggal sebelum umur tertentu daripada jadual hayat, serta nilai kini bayaran kontingen kepada kemandirian.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kebarangkalian dan nilai kini.

    SP disasar: 15.1.1, 15.1.2 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mengira nilai kini endowmen tulen (pure endowment) n tahun dan menganalisis kesan faktor umur dan kadar faedah terhadap nilai tersebut.

    Bukti hasil kerja: Jadual nilai kini mengikut umur dan kadar.

    SP disasar: 15.1.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid mengira nilai kini anuiti hayat biasa (ordinary life annuity) bagi seorang pesara dan menilai sama ada harga yang ditawarkan syarikat munasabah.

    Bukti hasil kerja: Pengiraan nilai kini dan ulasan harga.

    SP disasar: 15.1.4 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Life Annuities and Life Insurance

  1. 15.1 Life annuities
  2. 15.2 Life insurance