5.1 Derivatives and rules of differentiation
Unit ini memperkenalkan terbitan (derivative) melalui prinsip pertama, petua pembezaan asas, petua hasil darab, hasil bahagi, petua rantai (chain rule) dan pembezaan tersirat (implicit differentiation).
SP 5.1.1Define the derivative of a function and differentiate x n where n ∈, e x, ln x, with constant multiples, sums and differences;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Define
Calon perlu mentakrif terbitan sebagai had (prinsip pertama) dan membezakan xⁿ, eˣ, ln x dengan gandaan pemalar, hasil tambah dan hasil tolak.
- IsiTakrif terbitanHuraian
f′(x) = lim (h→0) [f(x + h) − f(x)]/h, iaitu kecerunan tangen.
Contohf(x) = 3x²: [3(x + h)² − 3x²]/h = 6x + 3h → 6x.
- IsiPetua asasHuraian
d/dx xⁿ = nxⁿ⁻¹; d/dx eˣ = eˣ; d/dx ln x = 1/x; bezakan sebutan demi sebutan.
Contohy = 2√x − 4eˣ + 5 ln x: dy/dx = x^(−1/2) − 4eˣ + 5/x.
NotaTakrif terbitan
Terbitan f(x) ialah f′(x) = lim (h→0) [f(x + h) − f(x)]/h, iaitu kecerunan tangen kepada lengkung pada titik x. Cth f(x) = x²: [(x + h)² − x²]/h = 2x + h → 2x apabila h → 0.
JadualPetua pembezaan
| Fungsi | Terbitan |
|---|---|
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
| kf(x) ± g(x) | kf′(x) ± g′(x) |
| uv (hasil darab, product) | u dv/dx + v du/dx |
| u/v (hasil bahagi, quotient) | (v du/dx − u dv/dx)/v² |
| y = f(u), u = g(x) (gubahan, composite) | dy/dx = dy/du × du/dx |
SP 5.1.2Find the derivatives of the products, quotients and composites of functions;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Find
Calon perlu mencari terbitan hasil darab, hasil bahagi dan fungsi gubahan (petua rantai).
- IsiHasil darab dan hasil bahagiHuraian
(uv)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
Contohy = x ln x: dy/dx = ln x + 1. y = eˣ/x: dy/dx = eˣ(x − 1)/x².
- IsiFungsi gubahanHuraian
dy/dx = dy/du × du/dx; d/dx e^f(x) = f′(x)e^f(x); d/dx ln f(x) = f′(x)/f(x).
Contohy = ln(x² + 1): dy/dx = 2x/(x² + 1). y = (3x − 2)⁴: dy/dx = 12(3x − 2)³.
Peta alirContoh: bezakan y = x² e³ˣ
- u = x², du/dx = 2x; v = e³ˣ, dv/dx = 3e³ˣ (petua rantai)
- dy/dx = u dv/dx + v du/dx
- = x²(3e³ˣ) + e³ˣ(2x)
- = xe³ˣ(3x + 2)
Peta buihPetua bagi gabungan fungsi
SP 5.1.3Perform implicit differentiation.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Perform
Calon perlu melaksanakan pembezaan tersirat (implicit differentiation) bagi persamaan yang mengandungi x dan y.
- IsiBezakan setiap sebutan terhadap xHuraian
Setiap sebutan y dibezakan seperti biasa kemudian didarab dengan dy/dx.
Contohx² + xy + y² = 7: 2x + y + x dy/dx + 2y dy/dx = 0, maka dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
- IsiKecerunan di suatu titikHuraian
Gantikan koordinat titik ke dalam ungkapan dy/dx.
ContohDi (1, 2) pada x² + xy + y² = 7: dy/dx = −(2 + 2)/(1 + 4) = −4/5.
Peta alirContoh: pembezaan tersirat x² + y² = 25, cari dy/dx di (3, 4)
- Bezakan setiap sebutan terhadap x: 2x + 2y dy/dx = 0
- dy/dx = −x/y
- Di (3, 4): dy/dx = −3/4
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- SRT
- Pembezaan tersirat: Setiap sebutan dibezakan, Rantai bagi sebutan y (darab dy/dx), Tukar subjek dy/dx.
Kad imbas
- Takrif f′(x)
- lim (h→0) [f(x + h) − f(x)]/h
- d/dx ln x
- 1/x
- Petua hasil bahagi
- (v u′ − u v′)/v²
- Petua rantai
- dy/dx = dy/du × du/dx
- d/dx (y²) dalam pembezaan tersirat
- 2y dy/dx
Semak kefahaman
Bezakan y = 4x³ − 2eˣ + 3 ln x. (SP 5.1.1)
Lihat jawapan
dy/dx = 12x² − 2eˣ + 3/x.
Bezakan y = x²eˣ. (SP 5.1.2)
Lihat jawapan
Petua hasil darab: dy/dx = 2xeˣ + x²eˣ = xeˣ(x + 2).
Cari dy/dx bagi x² + y² = 10. (SP 5.1.3)
Lihat jawapan
2x + 2y dy/dx = 0, maka dy/dx = −x/y.
12 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Mengingat
Aktiviti: Murid menulis takrif terbitan melalui had dan jadual terbitan x^n, e^x dan ln x pada kad ringkas, kemudian menguji ingatan secara berpasangan.
Bukti hasil kerja: Kad terbitan dan kuiz berpasangan.
SP disasar: 5.1.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mendiferensiasi fungsi kos, hasil dan keuntungan menggunakan petua hasil darab, hasil bahagi dan rantai, kemudian melakukan pembezaan tersirat bagi satu persamaan permintaan.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja pembezaan dengan nama petua.
SP disasar: 5.1.2, 5.1.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis kos purata dan kos sut (marginal cost) daripada fungsi kos C(x), membandingkan nilai C(x)/x dan C′(x) pada jadual.
Bukti hasil kerja: Jadual kos purata dan kos sut serta ulasan.
SP disasar: 5.1.1, 5.1.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai dua penyelesaian rakan bagi pembezaan fungsi gubahan (satu tersilap kerana mengabaikan petua rantai) dan menulis pembetulan beserta sebab.
Bukti hasil kerja: Ulasan bertulis pada dua penyelesaian.
SP disasar: 5.1.2, 5.1.3 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.