Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics M) · Differentiation

5.2 Curve sketching

Unit ini menggunakan terbitan pertama dan kedua untuk menentukan selang menokok dan menyusut, titik maksimum dan minimum setempat, kecekungan, titik lengkok balas (point of inflexion) dan melakar lengkung.

  • STPM
  • 4 SP
  • 14 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

SP 5.2.1Determine the intervals on which a function is increasing and decreasing;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Determine

Calon perlu menentukan selang di mana fungsi menokok atau menyusut menggunakan tanda f′(x).

  1. IsiTanda terbitan pertama
    Huraian

    f′(x) > 0: menokok; f′(x) < 0: menyusut. Cari punca f′(x) = 0 dan uji tanda setiap selang.

    Contoh

    f(x) = 2x³ − 3x² − 12x: f′(x) = 6(x − 2)(x + 1); menokok bagi x < −1 atau x > 2, menyusut bagi −1 < x < 2.

  2. IsiFungsi dengan ln atau e
    Huraian

    Ambil kira domain sebelum menguji tanda.

    Contoh

    f(x) = x − ln x, x > 0: f′(x) = 1 − 1/x; menyusut bagi 0 < x < 1, menokok bagi x > 1.

JadualUjian terbitan

SyaratKesimpulan
f′(x) > 0 dalam selangf menokok (increasing)
f′(x) < 0 dalam selangf menyusut (decreasing)
f′(a) = 0, f′ berubah + ke −Maksimum setempat (ujian terbitan pertama)
f′(a) = 0, f″(a) > 0Minimum setempat (ujian terbitan kedua)
f″(x) > 0Cekung ke atas (concave upward)
f″(x) < 0Cekung ke bawah (concave downward)
f″ bertukar tanda di x = aTitik lengkok balas (point of inflexion)
SP 5.2.1SP 5.2.2SP 5.2.3

Peta alirContoh: analisis f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5

  1. f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1); titik pegun x = −1, x = 3
  2. Menokok bagi x < −1 atau x > 3; menyusut bagi −1 < x < 3
  3. f″(x) = 6x − 6: f″(−1) = −12 < 0, maksimum (−1, 10); f″(3) = 12 > 0, minimum (3, −22)
  4. f″(x) = 0 apabila x = 1 dan bertukar tanda: titik lengkok balas (1, −6)
  5. Cekung ke bawah bagi x < 1, cekung ke atas bagi x > 1
SP 5.2.1SP 5.2.2SP 5.2.3

SP 5.2.2Use the first derivative test or second derivative test to determine local minimum points and local maximum points;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Use

Calon perlu menggunakan ujian terbitan pertama atau kedua untuk menentukan titik minimum dan maksimum setempat (titik ekstremum di hujung selang dikecualikan).

  1. IsiUjian terbitan pertama
    Huraian

    f′ berubah dari + ke −: maksimum; dari − ke +: minimum; tiada perubahan tanda: bukan ekstremum.

    Contoh

    f(x) = x³: f′(0) = 0 tetapi f′ positif di kedua-dua sisi, maka (0, 0) bukan ekstremum.

  2. IsiUjian terbitan kedua
    Huraian

    f′(a) = 0 dan f″(a) < 0: maksimum; f″(a) > 0: minimum; f″(a) = 0: guna ujian pertama.

    Contoh

    f(x) = 2x³ − 3x² − 12x: f″(x) = 12x − 6; f″(−1) = −18 (maksimum (−1, 7)); f″(2) = 18 (minimum (2, −20)).

IstilahIstilah lakaran lengkung

Titik pegun (stationary point)
Titik dengan f′(x) = 0
Maksimum setempat (local maximum)
Nilai tertinggi berbanding titik berhampiran
Minimum setempat (local minimum)
Nilai terendah berbanding titik berhampiran
Pintasan (intercept)
Titik graf bertemu paksi
SP 5.2.2SP 5.2.4

SP 5.2.3Determine the intervals on which a curve is concave upward and concave downward, and find points of inflexion;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Determine

Calon perlu menentukan selang cekung ke atas dan cekung ke bawah menggunakan tanda f″(x), dan mencari titik lengkok balas.

  1. IsiKecekungan
    Huraian

    f″(x) > 0: cekung ke atas; f″(x) < 0: cekung ke bawah.

    Contoh

    f(x) = 2x³ − 3x² − 12x: f″(x) = 12x − 6; cekung ke bawah bagi x < 1/2, cekung ke atas bagi x > 1/2.

  2. IsiTitik lengkok balas
    Huraian

    f″(a) = 0 DAN f″ bertukar tanda pada a.

    Contoh

    Titik lengkok balas f di atas: x = 1/2, f(1/2) = 1/4 − 3/4 − 6 = −13/2, iaitu (1/2, −6.5).

SP 5.2.4Sketch a curve displaying its important features.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Sketch

Calon perlu melakar lengkung yang memaparkan ciri penting: pintasan, titik pegun, titik lengkok balas dan asimptot (mengufuk, mencancang dan serong seperti dalam catatan).

  1. IsiCiri polinomial
    Huraian

    Pintasan paksi, titik pegun dan jenisnya, titik lengkok balas, kelakuan x → ±∞.

    Contoh

    y = x³ − 3x: pintasan (0, 0), (±√3, 0); maksimum (−1, 2), minimum (1, −2), lengkok balas (0, 0).

  2. IsiAsimptot fungsi nisbah
    Huraian

    Mencancang: penyebut sifar. Mengufuk: had apabila x → ±∞. Serong (oblique): jika darjah pengangka lebih satu daripada penyebut, bahagi untuk mendapat y = mx + c.

    Contoh

    y = (x² + 1)/(x − 1) = x + 1 + 2/(x − 1): asimptot mencancang x = 1, asimptot serong y = x + 1.

Peta alirLangkah melakar lengkung

  1. Tentukan domain dan pintasan paksi
  2. Cari asimptot mencancang, mengufuk dan serong (oblique) jika ada
  3. Cari titik pegun dan jenisnya
  4. Cari titik lengkok balas
  5. Tentukan kelakuan apabila x → ±∞
  6. Lakar dan labelkan ciri penting
SP 5.2.4

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

PAPLAK
Lakar lengkung: Pintasan, Asimptot, Pegun, Lengkok balas, Arah hujung (x → ±∞), Kemas label.

Kad imbas

f′(x) > 0
Fungsi menokok
f′(a) = 0 dan f″(a) < 0
Maksimum setempat
f″(x) > 0
Cekung ke atas
Titik lengkok balas
f″ bertukar tanda
Ciri penting lakaran
Pintasan, titik pegun, lengkok balas, asimptot, kelakuan hujung

Semak kefahaman

  1. Tentukan selang f(x) = x² − 4x + 1 menokok. (SP 5.2.1)

    Lihat jawapan

    f′(x) = 2x − 4 ＞ 0 apabila x ＞ 2, maka f menokok bagi x ＞ 2.

  2. Cari titik pegun f(x) = x² − 6x + 5 dan tentukan jenisnya dengan ujian terbitan kedua. (SP 5.2.2)

    Lihat jawapan

    f′(x) = 2x − 6 = 0, x = 3, f(3) = −4; f″(x) = 2 ＞ 0, maka (3, −4) titik minimum.

  3. Cari titik lengkok balas bagi y = x³ − 6x². (SP 5.2.3)

    Lihat jawapan

    y″ = 6x − 12 = 0, x = 2, y = 8 − 24 = −16; y″ bertukar tanda, maka titik lengkok balas (2, −16).

  4. Nyatakan asimptot mencancang dan asimptot mengufuk bagi y = (2x + 3)/(x − 1). (SP 5.2.4)

    Lihat jawapan

    Asimptot mencancang x = 1; asimptot mengufuk y = 2.

14 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Memahami

    Aktiviti: Murid menerangkan kaitan tanda f′(x) dengan fungsi menokok atau menyusut, dan tanda f″(x) dengan kecekungan, menggunakan graf dan jadual tanda.

    Bukti hasil kerja: Jadual tanda dan penerangan lisan.

    SP disasar: 5.2.1, 5.2.3 · Latihan sepadan: aras Memahami
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mencari titik pegun, selang menokok dan menyusut, maksimum dan minimum tempatan dengan ujian terbitan pertama atau kedua, serta titik lengkok balas.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja titik pegun dan lengkok balas.

    SP disasar: 5.2.1, 5.2.2, 5.2.3 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis fungsi kos kubik dan menerangkan maksud ekonomi titik lengkok balas (contoh: kos sut berhenti menyusut), kemudian melakar lengkung dengan ciri penting.

    Bukti hasil kerja: Lakaran lengkung dan penerangan ekonomi.

    SP disasar: 5.2.3, 5.2.4 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Mencipta

    Aktiviti: Murid mereka satu fungsi yang mempunyai maksimum tempatan di x = 2 dan titik lengkok balas di x = 3, menulis persamaannya dan melakar lengkung.

    Bukti hasil kerja: Fungsi rekaan, pengiraan dan lakaran.

    SP disasar: 5.2.2, 5.2.3, 5.2.4 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik Pengurusan STPM

Unit lain dalam Differentiation

  1. 5.1 Derivatives and rules of differentiation
  2. 5.2 Curve sketching
  3. 5.3 Rates of change and optimisation problems