5.3 Rates of change and optimisation problems
Unit ini mengaplikasikan pembezaan untuk menyelesaikan masalah kadar perubahan dan pengoptimuman (optimisation) yang melibatkan kos (cost), hasil (revenue) dan untung (profit).
SP 5.3.1Solve problems concerning rates of change involving costs, revenues and profits;
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Solve
Calon perlu menyelesaikan masalah kadar perubahan melibatkan kos, hasil dan untung, termasuk kadar perubahan terhubung (related rates) seperti dalam catatan.
- IsiFungsi sut (marginal)Huraian
C′(x), R′(x), P′(x) menganggar perubahan apabila satu unit tambahan dihasilkan.
ContohR(x) = 40x − 0.1x²: R′(100) = 40 − 20 = RM20 seunit.
- IsiKadar perubahan terhubungHuraian
Jika x berubah terhadap masa, dC/dt = C′(x) × dx/dt.
ContohP(x) = 30x − 0.05x² − 200 dan jualan naik 10 unit seminggu: pada x = 100, dP/dt = (30 − 10)(10) = RM200 seminggu.
IstilahIstilah ekonomi
- Fungsi kos C(x)
- Jumlah kos menghasilkan x unit = kos tetap + kos berubah
- Fungsi hasil R(x)
- R(x) = p × x, harga seunit × kuantiti
- Fungsi untung P(x)
- P(x) = R(x) − C(x)
- Kos sut (marginal cost)
- C′(x), anggaran kos menghasilkan satu unit tambahan
- Hasil sut (marginal revenue)
- R′(x)
- Untung sut (marginal profit)
- P′(x)
Peta alirContoh kadar perubahan: C(x) = 500 + 20x + 0.1x², x bertambah 5 unit sehari
- Kos sut: C′(x) = 20 + 0.2x
- Pada x = 50: C′(50) = 30, iaitu kira-kira RM30 bagi unit ke-51
- Petua rantai: dC/dt = C′(x) × dx/dt
- dC/dt = 30 × 5 = RM150 sehari
SP 5.3.2Solve optimisation problems involving costs, revenues and profits.
Huraian SPApa yang perlu dikuasai
Untuk guru: kata tugas Solve
Calon perlu menyelesaikan masalah pengoptimuman: meminimumkan kos atau kos purata, memaksimumkan hasil atau untung.
- IsiMemaksimumkan untungHuraian
Bentuk P(x) = R(x) − C(x), selesaikan P′(x) = 0, sahkan P″(x) < 0.
ContohR(x) = 50x − 0.2x², C(x) = 10x + 600: P′(x) = 40 − 0.4x = 0, x = 100, P(100) = 4000 − 2000 − 600 = RM1400.
- IsiMeminimumkan kos purataHuraian
A(x) = C(x)/x; selesaikan A′(x) = 0 dan sahkan A″(x) > 0.
ContohC(x) = 900 + 4x + x²: A(x) = 900/x + 4 + x, A′(x) = 1 − 900/x² = 0, x = 30, A(30) = RM64 seunit.
Peta alirContoh pengoptimuman: R(x) = 100x − 0.5x², C(x) = 500 + 20x
- P(x) = R − C = 80x − 0.5x² − 500
- P′(x) = 80 − x = 0, maka x = 80
- P″(x) = −1 < 0, maka maksimum
- Untung maksimum P(80) = 6400 − 3200 − 500 = RM2700
- Semak: R′(80) = 20 = C′(80), hasil sut = kos sut
Peta pelbagai alirFaktor dan kesan pengoptimuman untung
Ingat: mnemonik & kad imbas
Mnemonik
- HKU
- Untung = Hasil − Kos: P = R − C.
Kad imbas
- Kos sut
- C′(x)
- Untung
- P(x) = R(x) − C(x)
- Syarat untung maksimum
- P′(x) = 0 dan P″(x) < 0
- Kadar perubahan kos terhadap masa
- dC/dt = C′(x) × dx/dt
Semak kefahaman
Kos C(x) = 200 + 15x + 0.02x². Cari kos sut apabila x = 100. (SP 5.3.1)
Lihat jawapan
C′(x) = 15 + 0.04x; C′(100) = 15 + 4 = RM19 seunit.
Untung P(x) = 60x − 0.5x² − 800. Cari x yang memaksimumkan untung. (SP 5.3.2)
Lihat jawapan
P′(x) = 60 − x = 0, x = 60; P″(x) = −1 ＜ 0, maka maksimum; P(60) = 3600 − 1800 − 800 = RM1000.
11 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.
Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
- Memahami
Aktiviti: Murid menyenaraikan langkah menyelesaikan masalah kadar perubahan (rates of change) kos, hasil dan keuntungan serta masalah pengoptimuman (optimisation) pada kad urutan.
Bukti hasil kerja: Susunan langkah penyelesaian yang betul.
SP disasar: 5.3.1, 5.3.2 · Latihan sepadan: aras Memahami - Mengaplikasi
Aktiviti: Murid mencari hasil sut (marginal revenue), kos sut dan keuntungan sut daripada fungsi yang diberi, kemudian mengira kadar perubahan pada nilai x tertentu.
Bukti hasil kerja: Lembaran kerja kadar perubahan kos, hasil, untung.
SP disasar: 5.3.1 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi - Menganalisis
Aktiviti: Dalam kumpulan, murid memodelkan keuntungan sebuah kedai, mencari kuantiti pengeluaran yang memaksimumkan keuntungan dan menganalisis bahawa MR = MC pada titik optimum.
Bukti hasil kerja: Model keuntungan dan analisis MR = MC.
SP disasar: 5.3.2 · Latihan sepadan: aras Menganalisis - Menilai
Aktiviti: Murid menilai cadangan pengurus untuk menaikkan pengeluaran melebihi titik optimum, menggunakan pengiraan untuk menyokong atau menolak, dan menulis nasihat bertulis.
Bukti hasil kerja: Pengiraan dan nasihat bertulis kepada pengurus.
SP disasar: 5.3.1, 5.3.2 · Latihan sepadan: aras Menilai
Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan
Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 40 unit Matematik Pengurusan STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.