Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Sampling Distributions and Estimation

16.2 Estimation

Anda akan mengira anggaran saksama (unbiased estimate) bagi min dan varians populasi, membina dan mentafsir selang keyakinan (confidence interval) bagi min dan kadar populasi, serta menentukan saiz sampel.

  • STPM
  • 5 SP
  • 15 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 16.2.1Calculate an unbiased estimate for a population mean and a population variance based on a random sample;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Calculate (Mengira)

Calon perlu mengira anggaran saksama (unbiased estimate) bagi min populasi (x̄) dan varians populasi (s² dengan pembahagi n − 1) daripada sampel rawak.

  1. IsiAnggaran min
    Huraian

    x̄ = Σx/n ialah anggaran saksama bagi μ.

    Contoh

    Sampel 5, 7, 9: x̄ = 7.

  2. IsiAnggaran varians
    Huraian

    s² = [Σx² − (Σx)²/n]/(n − 1); pembahagi n − 1, bukan n.

    Contoh

    Sampel 5, 7, 9: s² = (4 + 0 + 4)/2 = 4. n = 10, Σx = 50, Σx² = 290: s² = 40/9 ≈ 4.444.

JadualAnggaran saksama

ParameterAnggaran saksama
μx̄ = Σx/n
σ²s² = Σ(x − x̄)²/(n − 1) = [Σx² − (Σx)²/n]/(n − 1)
SP 16.2.1

Peta alirContoh: n = 10, Σx = 50, Σx² = 290

  1. x̄ = 50/10 = 5
  2. s² = [290 − 50²/10]/9
  3. = (290 − 250)/9
  4. = 40/9 ≈ 4.444
SP 16.2.1

SP 16.2.2Find and interpret a confidence interval for a population mean based on a random sample from a normal population with known variance or based on a large random sample from a non-normal population with known variance;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (Mencari)

Calon perlu mencari dan mentafsir selang keyakinan (confidence interval) bagi μ apabila σ diketahui: x̄ ± z σ/√n, sama ada populasi normal atau sampel besar daripada populasi tidak normal.

  1. IsiPopulasi normal, σ diketahui
    Huraian

    Kira ralat piawai σ/√n, darab dengan nilai z (1.96 bagi 95%, 2.576 bagi 99%).

    Contoh

    x̄ = 20, σ = 5, n = 25: SK 95% = 20 ± 1.96 = (18.04, 21.96).

  2. IsiSampel besar, populasi tidak normal
    Huraian

    Teorem had memusat membenarkan rumus yang sama; tafsiran: kira-kira 95% selang yang dibina sebegini mengandungi μ.

    Contoh

    n = 64, x̄ = 30, σ = 8: SK 99% = 30 ± 2.576(1) = (27.424, 32.576).

JadualSelang keyakinan (SK)

SituasiSelang
Populasi normal, σ diketahui; atau n besar, σ diketahuix̄ ± z(α/2) σ/√n
Sampel kecil, populasi normal, σ tidak diketahuix̄ ± t(α/2, n−1) s/√n
n besar, σ tidak diketahuix̄ ± z(α/2) s/√n
Kadar populasi, n besarp̂ ± z(α/2) √(p̂q̂/n)
Saiz sampel (min)n ≥ (z σ/E)²
SP 16.2.2SP 16.2.3SP 16.2.4

Peta alirContoh: SK 95% bagi μ, x̄ = 20, σ = 5, n = 25

  1. Ralat piawai = 5/√25 = 1
  2. z(0.025) = 1.96
  3. 20 ± 1.96
  4. SK = (18.04, 21.96)
  5. Tafsiran: 95% selang yang dibina sedemikian mengandungi μ
SP 16.2.2

Peta pokokMemilih taburan bagi SK min

SK bagi μ
σ diketahui
  • Guna z
  • Populasi normal atau n besar
σ tidak diketahui
  • n kecil, populasi normal: guna t(n−1)
  • n besar: guna z dengan s
SP 16.2.2SP 16.2.3

SP 16.2.3Find and interpret a confidence interval for a population mean based on a small random sample from a normal population with unknown variance or based on a large random sample from any population with unknown variance;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (Mencari)

Calon perlu mencari dan mentafsir selang keyakinan bagi μ apabila σ tidak diketahui: guna t(n − 1) bagi sampel kecil daripada populasi normal, atau z dengan s bagi sampel besar (t dengan lebih 30 darjah kebebasan boleh dianggar dengan z).

  1. IsiSampel kecil, populasi normal
    Huraian

    x̄ ± t(α/2, n − 1) s/√n.

    Contoh

    n = 9, x̄ = 12, s = 3, t(0.025, 8) = 2.306: SK 95% = (9.694, 14.306).

  2. IsiSampel besar, sebarang populasi
    Huraian

    Apabila n besar, s menganggar σ dengan baik, maka gunakan x̄ ± z s/√n tanpa memerlukan populasi normal.

    Contoh

    n = 100, x̄ = 45, s = 10: SK 95% = 45 ± 1.96(1) = (43.04, 46.96).

Peta alirContoh: SK 95% bagi μ, n = 9, x̄ = 12, s = 3, populasi normal

  1. Ralat piawai = 3/√9 = 1
  2. t(0.025, 8) = 2.306
  3. 12 ± 2.306
  4. SK = (9.694, 14.306)
SP 16.2.3

SP 16.2.4Find and interpret a confidence interval for a population proportion based on a large random sample;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Find (Mencari)

Calon perlu mencari dan mentafsir selang keyakinan bagi kadar populasi p berdasarkan sampel rawak besar: p̂ ± z √(p̂q̂/n).

  1. IsiMembina selang
    Huraian

    Kira p̂, ralat piawai √(p̂(1 − p̂)/n), kemudian p̂ ± z × ralat piawai.

    Contoh

    120 daripada 400 menyokong: p̂ = 0.3, SK 95% = 0.3 ± 1.96(0.02291) = (0.255, 0.345).

  2. IsiMentafsir
    Huraian

    Selang memberi julat nilai munasabah bagi p; jika nilai dakwaan di luar selang, dakwaan itu diragui.

    Contoh

    Dakwaan 40% penyokong tidak disokong kerana 0.40 di luar (0.255, 0.345).

Peta alirContoh: 120 daripada 400 menyokong, SK 95% bagi p

  1. p̂ = 0.3
  2. √(0.3 × 0.7/400) ≈ 0.02291
  3. 0.3 ± 1.96(0.02291) = 0.3 ± 0.0449
  4. SK = (0.255, 0.345)
SP 16.2.4

SP 16.2.5Determine the sample size required to obtain a confidence interval, given the confidence level and margin of error.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Determine (Menentukan)

Calon perlu menentukan saiz sampel minimum untuk mendapat selang keyakinan dengan aras keyakinan dan ralat margin E yang diberi, dan membundarkan ke atas.

  1. IsiSaiz sampel bagi min
    Huraian

    n ≥ (zσ/E)², bundarkan ke atas kepada integer.

    Contoh

    σ = 8, E = 2, 95%: n ≥ (1.96 × 4)² = 61.47, maka n = 62.

  2. IsiSaiz sampel bagi kadar
    Huraian

    n ≥ z² p̂(1 − p̂)/E²; guna p̂ = 0.5 jika tiada anggaran awal.

    Contoh

    E = 0.05, 95%, p̂ = 0.5: n ≥ 3.8416 × 0.25/0.0025 = 384.16, maka n = 385.

Peta alirContoh: σ = 8, ralat E = 2, keyakinan 95%

  1. n ≥ (1.96 × 8/2)²
  2. = 7.84²
  3. = 61.47
  4. n = 62 (bundarkan ke atas)
SP 16.2.5

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

ZTZP
Z jika σ diketahui, T jika sampel kecil σ tidak diketahui, Z dengan s jika n besar, P̂ untuk kadar.

Kad imbas

Anggaran saksama σ²
s² = Σ(x − x̄)²/(n − 1)
SK min, σ diketahui
x̄ ± z σ/√n
SK min, n kecil, σ tidak diketahui
x̄ ± t(n−1) s/√n
SK kadar
p̂ ± z√(p̂q̂/n)
Saiz sampel
n ≥ (zσ/E)², bundar ke atas

Semak kefahaman

  1. Sampel: 4, 6, 8, 10. Hitung anggaran saksama bagi μ. (SP 16.2.1)

    Lihat jawapan

    x̄ = (4 + 6 + 8 + 10)/4 = 28/4 = 7.

  2. x̄ = 40, σ = 10 dan n = 100. Cari selang keyakinan 95% bagi μ. (SP 16.2.2)

    Lihat jawapan

    Ralat piawai = 10/√100 = 1; 40 ± 1.96(1) = (38.04, 41.96).

  3. n = 16, x̄ = 25 dan s = 4 daripada populasi normal. Diberi t(0.025, 15) = 2.131, cari selang keyakinan 95% bagi μ. (SP 16.2.3)

    Lihat jawapan

    s/√n = 4/4 = 1; 25 ± 2.131(1) = (22.869, 27.131).

  4. 90 daripada 300 pengguna memilih jenama X. Hitung p̂ dan ralat piawainya. (SP 16.2.4)

    Lihat jawapan

    p̂ = 90/300 = 0.3; ralat piawai = √(0.3 × 0.7/300) = √0.0007 = 0.02646.

  5. σ = 10, E = 2.5 dan aras keyakinan 99%. Cari saiz sampel minimum. (SP 16.2.5)

    Lihat jawapan

    n ≥ (2.576 × 10/2.5)² = 10.304² = 106.17, maka n = 107.

15 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Mengingat

    Aktiviti: Murid mengingat rumus penganggar saksama (unbiased estimate) bagi min dan varians populasi dan memadankan nilai z kritikal bagi paras keyakinan lazim pada kad.

    Bukti hasil kerja: Kad rumus dan nilai z yang dipadankan.

    SP disasar: 16.2.1 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid mengira anggaran saksama bagi min dan varians daripada data sampel, dan selang keyakinan (confidence interval) bagi min dan proporsi menggunakan nilai z atau t.

    Bukti hasil kerja: Pengiraan selang keyakinan bagi tiga kes.

    SP disasar: 16.2.1, 16.2.2, 16.2.3, 16.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid mensimulasi 20 selang keyakinan 90% dan menganalisis berapa banyak yang mengandungi min sebenar, serta menghuraikan tafsiran paras keyakinan.

    Bukti hasil kerja: Hasil simulasi dan tafsiran paras keyakinan.

    SP disasar: 16.2.2, 16.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Mencipta

    Aktiviti: Murid mereka tinjauan kecil tentang pendapat murid, menentukan saiz sampel diperlukan bagi margin ralat dan paras keyakinan yang ditetapkan, dan menulis cadangan reka bentuk.

    Bukti hasil kerja: Reka bentuk tinjauan, pengiraan saiz sampel dan ulasan.

    SP disasar: 16.2.4, 16.2.5 · Latihan sepadan: aras Mencipta

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Sampling Distributions and Estimation

  1. 16.1 Sampling distributions
  2. 16.2 Estimation