Langkau ke kandungan
Matematik · Tingkatan 6 (STPM Mathematics T) · Hypothesis Testing

17.2 Hypothesis testing on a single population

Anda akan menyatakan hipotesis dan menjalankan ujian hipotesis bagi min populasi (population mean) dan kadar populasi (population proportion) untuk ujian satu hujung (one-tailed) dan dua hujung (two-tailed).

  • STPM
  • 5 SP
  • 14 latihan
  • Percuma
Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

SP 17.2.1State the null and alternative hypotheses for a one-tailed or two-tailed hypothesis test concerning a population mean;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)

Calon perlu menyatakan H₀ dan H₁ bagi ujian satu hujung (one-tailed) atau dua hujung (two-tailed) tentang min populasi μ berdasarkan kata kunci situasi.

  1. IsiUjian dua hujung
    Huraian

    Kata kunci 'berubah' atau 'berbeza': H₀: μ = μ₀, H₁: μ ≠ μ₀.

    Contoh

    Mesin mengisi 500 ml; adakah min isi padu berubah? H₀: μ = 500, H₁: μ ≠ 500.

  2. IsiUjian satu hujung
    Huraian

    Kata kunci 'bertambah/lebih' (H₁: μ > μ₀) atau 'berkurang/kurang' (H₁: μ < μ₀).

    Contoh

    Pengguna mengesyaki jangka hayat bateri kurang daripada 40 jam: H₀: μ = 40, H₁: μ < 40.

JadualBentuk hipotesis

JenisMinKadar
Dua hujungH₀: μ = μ₀, H₁: μ ≠ μ₀H₀: p = p₀, H₁: p ≠ p₀
Satu hujung (kanan)H₁: μ > μ₀H₁: p > p₀
Satu hujung (kiri)H₁: μ < μ₀H₁: p < p₀
SP 17.2.1SP 17.2.4

SP 17.2.2Carry out a hypothesis test concerning a population mean based on a random sample from a normal population with known variance or based on a large random sample from a non-normal population with known variance;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Carry (Menjalankan)

Calon perlu menjalankan ujian hipotesis bagi μ menggunakan Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila varians diketahui, sama ada populasi normal atau sampel besar daripada populasi tidak normal.

  1. IsiPopulasi normal, σ diketahui
    Huraian

    Hitung Z, bandingkan dengan nilai genting, buat kesimpulan dalam konteks.

    Contoh

    μ₀ = 50, σ = 4, n = 16, x̄ = 52, H₁: μ > 50: Z = 2 > 1.645, tolak H₀ pada aras 5%.

  2. IsiSampel besar, populasi tidak normal
    Huraian

    Teorem had memusat membenarkan ujian Z yang sama.

    Contoh

    n = 36, σ = 6, x̄ = 21.8, H₀: μ = 20, H₁: μ > 20: Z = 1.8/1 = 1.8 > 1.645, tolak H₀.

JadualStatistik ujian

SituasiStatistik ujian
Min, σ diketahui (populasi normal atau n besar)Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Min, n kecil, populasi normal, σ tidak diketahuiT = (x̄ − μ₀)/(s/√n), t(n − 1)
Min, n besar, σ tidak diketahuiZ = (x̄ − μ₀)/(s/√n)
Kadar, n besarZ = (p̂ − p₀)/√(p₀q₀/n)
SP 17.2.2SP 17.2.3SP 17.2.5

Peta alirContoh: μ₀ = 50, σ = 4, n = 16, x̄ = 52, H₁: μ > 50, α = 0.05

  1. Z = (52 − 50)/(4/4) = 2
  2. Nilai genting z = 1.645
  3. 2 > 1.645, dalam rantau genting
  4. Tolak H₀: ada bukti min melebihi 50
SP 17.2.2

Peta pokokMemilih ujian

Ujian hipotesis
Min
  • σ diketahui: Z
  • n kecil, σ tidak diketahui: T
  • n besar, σ tidak diketahui: Z dengan s
Kadar
  • n besar: Z dengan p₀
SP 17.2.2SP 17.2.3SP 17.2.5

SP 17.2.3Carry out a hypothesis test concerning a population mean based on a small random sample from a normal population with unknown variance or based on a large random sample from any population with unknown variance;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Carry (Menjalankan)

Calon perlu menjalankan ujian hipotesis bagi μ apabila varians tidak diketahui: ujian-t dengan n − 1 darjah kebebasan bagi sampel kecil daripada populasi normal, atau ujian Z dengan s bagi sampel besar (ujian-t lebih 30 darjah kebebasan boleh dianggar dengan ujian-z).

  1. IsiUjian-t sampel kecil
    Huraian

    T = (x̄ − μ₀)/(s/√n), bandingkan dengan t(n − 1).

    Contoh

    n = 10, x̄ = 48, s = 3, H₁: μ ≠ 50: T = −2.108, |T| < 2.262, tidak tolak H₀ pada aras 5%.

  2. IsiSampel besar, σ tidak diketahui
    Huraian

    Guna Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n).

    Contoh

    n = 50, x̄ = 48.5, s = 5, H₁: μ ≠ 50: Z = −1.5/0.7071 = −2.121, |Z| > 1.96, tolak H₀ pada aras 5%.

Peta alirContoh: n = 10, x̄ = 48, s = 3, H₀: μ = 50, H₁: μ ≠ 50, α = 0.05

  1. T = (48 − 50)/(3/√10) ≈ −2.108
  2. t(0.025, 9) = 2.262
  3. |−2.108| < 2.262
  4. Tidak tolak H₀: tiada bukti min berbeza daripada 50
SP 17.2.3

SP 17.2.4State the null and alternative hypotheses for a one-tailed or two-tailed hypothesis test concerning a population proportion;

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas State (Menyatakan)

Calon perlu menyatakan H₀ dan H₁ bagi ujian satu hujung atau dua hujung tentang kadar populasi p.

  1. IsiDua hujung
    Huraian

    Dakwaan kadar 'berubah': H₀: p = p₀, H₁: p ≠ p₀.

    Contoh

    Syarikat mendakwa 30% pelanggan memilih produk A; adakah kadar berubah? H₀: p = 0.3, H₁: p ≠ 0.3.

  2. IsiSatu hujung
    Huraian

    Dakwaan kadar 'meningkat' atau 'menurun': H₁: p > p₀ atau p < p₀; hipotesis tentang parameter p, bukan p̂.

    Contoh

    Guru yakin lebih separuh murid lulus: H₀: p = 0.5, H₁: p > 0.5.

SP 17.2.5Carry out a hypothesis test concerning a population proportion based on a large random sample.

Huraian SPApa yang perlu dikuasai

Untuk guru: kata tugas Carry (Menjalankan)

Calon perlu menjalankan ujian hipotesis bagi kadar populasi berdasarkan sampel rawak besar menggunakan Z = (p̂ − p₀)/√(p₀q₀/n).

  1. IsiUjian hujung kanan
    Huraian

    Ralat piawai dikira dengan p₀ daripada H₀.

    Contoh

    60 daripada 100 berjaya, H₁: p > 0.5: Z = 0.1/0.05 = 2 > 1.645, tolak H₀ pada aras 5%.

  2. IsiUjian hujung kiri
    Huraian

    Bandingkan Z dengan −1.645 bagi aras 5%.

    Contoh

    50 daripada 200, H₀: p = 0.3, H₁: p < 0.3: p̂ = 0.25, Z = −0.05/0.03240 = −1.543 > −1.645, tidak tolak H₀.

Peta alirContoh: 60 daripada 100 berjaya, H₀: p = 0.5, H₁: p > 0.5, α = 0.05

  1. p̂ = 0.6
  2. Z = (0.6 − 0.5)/√(0.25/100) = 0.1/0.05 = 2
  3. Nilai genting 1.645
  4. Tolak H₀: kadar melebihi 0.5
SP 17.2.5

Ingat: mnemonik & kad imbas

Mnemonik

BBK
Berbeza: dua hujung, Bertambah: hujung kanan, Kurang: hujung kiri.

Kad imbas

Kata kunci 'berubah' atau 'berbeza'
Ujian dua hujung, H₁: ≠
Kata kunci 'bertambah' atau 'lebih'
Satu hujung, H₁: >
Nilai genting dua hujung 5%
±1.96
Nilai genting satu hujung 5%
1.645
Statistik ujian kadar
(p̂ − p₀)/√(p₀q₀/n)

Semak kefahaman

  1. Adakah min masa perjalanan, dahulu 45 minit, telah berubah? Nyatakan H₀ dan H₁. (SP 17.2.1)

    Lihat jawapan

    H₀: μ = 45, H₁: μ ≠ 45 (ujian dua hujung).

  2. μ₀ = 100, σ = 15, n = 25, x̄ = 106 dan H₁: μ ＞ 100. Hitung Z. (SP 17.2.2)

    Lihat jawapan

    Z = (106 − 100)/(15/√25) = 6/3 = 2.

  3. n = 9, x̄ = 53, s = 6 daripada populasi normal dan H₀: μ = 50. Hitung statistik ujian T. (SP 17.2.3)

    Lihat jawapan

    T = (53 − 50)/(6/√9) = 3/2 = 1.5.

  4. Dahulu 40% penduduk menggunakan pengangkutan awam. Majlis percaya kadar itu telah menurun. Nyatakan H₀ dan H₁. (SP 17.2.4)

    Lihat jawapan

    H₀: p = 0.4, H₁: p ＜ 0.4.

  5. n = 400, 220 berjaya, H₀: p = 0.5 dan H₁: p ≠ 0.5. Hitung Z. (SP 17.2.5)

    Lihat jawapan

    p̂ = 0.55; Z = (0.55 − 0.5)/0.025 = 2.

14 soalan latihan pelbagai aras, kad imbas dan Kad Tahniah ada dalam mod interaktif.

Untuk guru: cadangan aktiviti ikut aras kognitif (4)
  1. Mengingat

    Aktiviti: Murid menyatakan hipotesis nol dan alternatif bagi lima situasi min dan proporsi, mengenal pasti ujian satu hujung atau dua hujung.

    Bukti hasil kerja: Kad hipotesis dan jawapan lisan.

    SP disasar: 17.2.1, 17.2.4 · Latihan sepadan: aras Mengingat
  2. Mengaplikasi

    Aktiviti: Murid menjalankan ujian z dan ujian t bagi min populasi serta ujian bagi proporsi, dengan statistik ujian, nilai genting dan kesimpulan dalam konteks.

    Bukti hasil kerja: Lembaran kerja ujian hipotesis lengkap.

    SP disasar: 17.2.2, 17.2.3, 17.2.5 · Latihan sepadan: aras Mengaplikasi
  3. Menganalisis

    Aktiviti: Dalam kumpulan, murid menganalisis data sebenar kecil (contoh: masa menunggu di kantin) untuk memilih ujian z atau t dan menjustifikasi pilihan berdasarkan saiz sampel dan varians.

    Bukti hasil kerja: Jadual pemilihan ujian dan justifikasi.

    SP disasar: 17.2.2, 17.2.3 · Latihan sepadan: aras Menganalisis
  4. Menilai

    Aktiviti: Murid menilai dakwaan syarikat tentang purata hayat produk menggunakan data sampel, membuat keputusan pada aras 5% dan menulis ulasan kritikal tentang had kesimpulan.

    Bukti hasil kerja: Laporan ringkas keputusan dan had kesimpulan.

    SP disasar: 17.2.2, 17.2.3, 17.2.5 · Latihan sepadan: aras Menilai

Cadangan ini mengikut aras kognitif hasil pembelajaran (bukan TP DSKP kerana STPM tiada TP). Buka unit dan latihan

Siapkan unit ini dalam mod interaktif untuk mendapat bintang, anggaran TP dan Kad Tahniah. Siapkan semua 38 unit Matematik STPM untuk Sijil Penghargaan SistemGuru.My.

Belajar & latih secara interaktifSemua unit Matematik STPM

Unit lain dalam Hypothesis Testing

  1. 17.1 Elements of hypothesis testing
  2. 17.2 Hypothesis testing on a single population